高中數學（版聊式）/第2節:集合間的關係與運算

集合間的關係與運算

集合間的關係

包含：對兩個集合A和B，如果對任意的x∈A，都有x∈B成立，那麼稱A包含於B（或B包含A），記做A⊆B，此時稱A是B的子集。另外，在A⊆B的基礎上，如果還存在x∈B，並且x∉A，那麼稱A是B的真子集，A真包含於B。

相等：對兩個集合A和B，如果既有A⊆B，又有B⊆A，那麼稱A和B相等，記做A=B。

例如，設A={1,2,3} B={2,3}，則B⊆A，且是真包含。

集合間的包含關係滿足以下三個性質：

1. 自反性：對任意集合A，都有A⊆A成立。
2. 反對稱性：對於集合A和B，如果A⊆B，又有B⊆A，那麼A=B。
3. 傳遞性：對集合A、B、C。如果A⊆B，又有B⊆C，那麼A⊆C。

我們只證明3：對任意的x∈A，由於A⊆B，有x∈B，又由於B⊆C，有x∈C，於是A⊆C。

另外，規定存在一個集合不包含任何元素，記做∅，讀作空集。並且規定對任意集合A，∅⊆A。

集合的運算：

（1）交集和併集：

定義：A∩B={x|x∈A並且x∈B}，稱為A和B的交集，讀作「A交B」。 A∪B={x|x∈A或者x∈B}，稱為A和B的併集，讀作「A並B」。 （注意，此處「或者」指可兼或，即即使既有p成立，又有q成立，那麼「p或者q」依舊被視為真命題。）

例如：A={1,2,3} B={2,3,4}，那麼A∩B={2,3}，A∪B={1,2,3,4}

交集和併集運算具有以下性質：

1. A∩A=A A∪A=A
2. A∩∅=∅ A∪∅=A
3. A⊆B 若且唯若 A∩B=A 若且唯若 A∪B=B
4. A∩B⊆A⊆A∪B,A∩B⊆B⊆A∪B
5. 結合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
6. 分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

證明是容易的，我們只選擇6的第一條證明，其餘讀者可自行補證。

證明：

對任意的x∈(A∪B)∩C，依定義，有x∈(A∪B)，並且x∈C。而x∈(A∪B)即為x∈A或者x∈B。若x∈A，由x∈C，有x∈(A∩C)。若x∈B，由x∈C，有x∈(B∩C)。即是說，x∈(A∩C)或者x∈(B∩C)，因此x∈(A∩C)∪(B∩C)。於是(A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C)。 反之，對任意的x∈(A∩C)∪(B∩C)，則x∈(A∩C)或者x∈(B∩C)，若x∈(A∩C)，則x∈A並且x∈C，由④，A⊆A∪B，故x∈A∪B且x∈C，因此x∈(A∪B)∩C。同理對x∈(B∩C)的情況同樣可證x∈(A∪B)∩C。於是(A∩C)∪(B∩C)⊆(A∪B)∩C。 依集合相等的定義，(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

註：讀者可能覺得上述證明十分囉嗦，明明是「顯然正確」的事實我們為什麼要花這麼多篇幅去證明它。這是為了讓大家養成依靠「邏輯推導」而非「主觀感覺」判斷正誤的習慣，而這正是數學與其他自然科學本質性的區別之一。

（2）集合的差和集合的補集

定義：A\B={x|x∈A並且x∉B}，讀作「A差B」。

例如：A={1,2,3} B={2,3,4},則A\B={1}

注意：寫A\B，並不意味著B是A的子集，差也不一定具有「數」的差的性質，在使用時務必注意這一點。

定義：有時我們指定我們全部的研究對象所在的集合為全集，通常用U表示。在給定了全集的基礎上，A⊆U的補集定義為U\A，記做A^C（補集的記號有很多種，故在書中出現時請查閱上下文，留心作者使用哪種記號）。

例如：U={1,2,3,4} A={2,3}，則A^C={1,4}。

設全集為U，A、B、C均為U的子集，那麼以下性質成立：

1. A\B=A∩B^C
2. 德摩根律：(A∩B)^C=A^C∪B^C，(A∪B)^C=A^C∩B^C

證明留給讀者完成。

集合間的映射

在上一章我們介紹了集合。但是在許多問題中，僅僅有集合是不夠用的。我們常常還需要一種「映射」的概念：兩個集合A,B，A中的每個元素都對應B中的唯一一個元素。比如學號和人的對應，建築物和街牌號的對應。要表示這種對應，一種方法是把對應的對象和本體都寫出來，列成一個大表格。但有時候，比如這個對應：全體整數對應到它的兩倍。要列出這個對應的每一組元素是不可能的，但是我只用一句話就表示出了這個對應。在數學裡要表示這種對應，我們使用所謂「函數」的概念。

定義: 映射: 已知兩個集合A,B,A到B的映射F是集合{(a,b)|a∈A,b∈B}的一個子集F, 滿足:

(1)若(a,b)∈F,(a,c)∈F, 則b=c.

(2)任意a∈A, 存在b∈B使得(a,b)∈F.

定義: 單射: 如果一個A到B的映射F, 滿足: (a,c)∈F, (b,c)∈F, 則a=b. 則稱F是單射.

滿射: 如果一個A到B的映射F, 滿足: 任意b∈B, 存在a∈A使得(a,b)∈F, 則稱F是滿射.

映射通常還可以用字母f表示:

              f: A→B
                 x→f(x)
表示(x,f(x))∈F, 其中f(x)是B中的元素. 

此時A稱為f的定義域, B稱為f的值域.

習題

1. 寫出下列集合的並, 交 (1)A={1,2,3}, B={3,4,5} (2)A={x|x＜0}, B={x|x≥-1}

2. 寫出{1,2,3,4}的全部子集

3.給出A={1,2},B={1,2,3}的全部映射

4.一下哪些是單射, 哪些是滿射?

(1)f(x)=x^2, A,B=全體實數

(2)f: 全體實數→全體實數

          x→2x

(3)f: (-1,1)→[0,1)

          x→x^2

i的討論

在看完了上一節的討論之後，如果你在閱讀這一節的時候產生了以下問題，那就說明你理解得非常深了：集合的並，交，差為什麼是集合？幸好有我們曾經 提到過的「替換公理」，它指出一個集合的子集（這裡就使用子集這一個詞不太合適，不過既然有了後面的結論了，這裡就不斟酌新詞了）是集合。所以交集 ，差集都是集合。至於併集，專門有一條公理，叫「併集公理」，保證兩個集合的併集也是集合。對於有限多個併集的情況，用歸納法不難得到。對於無窮多 個集合的情況，那就比較麻煩了，這裡也並不打算討論。「無窮」是個危險的詞，它常常是危險的陷阱，許多看起來很明顯的事實，在無窮的情況卻是不成立 的。比如……請看下節。