線性代數/引言

簡介

線性代數是研究有限維線性空間的學科，矩陣和線性空間是其基本內容，是數學和其他學科的重要基礎，在生產生活中有著廣泛的應用。學好線性代數，對培養邏輯思維、空間想像能力也起到重要的作用。因此，各大院校理工、金融等諸多專業都以線性代數作為必修課程，足見其內容的重要性和通用性。

預備知識

在學習主要內容之前，首先讓我們對向量和矩陣有一個直觀上的認識。

坐標向量

在平面直角坐標系中，我們會用有序數對$(x,y)$的形式表示一個點。我們對點可以定義其運算，例如點的平移：將點$A(x,y)$向右平移一個單位得到點$B(x+1,y)$，這個過程抽象地寫成方程的形式，可以寫作

$A+(1,0)=B$

如果我們用一個符號$a$來代替$(1,0)$，就可以把這個方程表示地更簡潔一些：

$A+a=B$

這裡的$a$所代表的已經不是一個數了，而是有序數對。我們把這樣的有序數對，連同$A,B$的坐標，稱為二維實坐標向量。上面的方程就成了一個向量方程，表示三個向量之間存在的關係。

我們通常從全體的角度去研究一類對象，我們把所有二維實坐標向量所組成的集合稱為二維實向量空間。注意到，這個二維實向量空間，實際上是實數集與實數集之間的笛卡爾積。因此要表示一個變量$a$為二維實坐標向量時，我們通常寫成

$a\in \mathbb {R} ^{2}$

$n$維空間中的點，要確定其位置，需要$n$個坐標分量，我們把這$n$個分量組合而成的有序數組稱為$n$維實坐標向量。所有$n$維實坐標向量組成的集合記為$\mathbb {R} ^{n}$。

更一般地，我們可以將實數域擴展到一般的數域中討論向量。有如下定義：

向量可以定義其運算。設$a,b\in F^{n},a=(a_{1},\cdots ,a_{n}),b=(b_{1},\cdots ,b_{n}),\lambda \in F$，則有

• 向量取反：$-a=(-a_{1},\cdots ,-a_{n})$
• 向量加法：$a+b=(a_{1}+b_{1},\cdots ,a_{n}+b_{n})$
• 向量減法：$a-b=a+(-b)$
• 數乘：$\lambda a=(\lambda a_{1},\cdots ,\lambda a_{n})$

上述定義都是很自然的，這裡不加說明地直接給出。

向量之間可以比較是否相等。設$a,b\in F^{n},\,a=(a_{1},\cdots ,a_{n}),\,b=(b_{1},\cdots ,b_{n})$，則$a=b$若且唯若每個對應分量相等，即：$\forall i\in 1,2,\cdots ,n,a_{i}=b_{i}$。但是要注意，向量之間不能直接比較大小。

矩陣

向量其實質是將數域做了笛卡爾積，由一個數擴展成了一組數。在書寫中，我們常常把向量中包含的數寫成一行或一列的形式，例如

$a=[1\;3\;5\;7],b=\left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\\8\end{array}}\right]$

前者稱為行向量，後者稱為列向量。在實際應用中，向量這種對數域的擴展形式往往還不夠用，即它只作為某一個「方向」上的擴展（這裡應理解為其書寫的形式），如果我們沿兩個方向擴展數域，就會得到更一般的形式，我們稱之為矩陣。例如

$A=\left[{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]$

就是一個3行2列的矩陣，通常稱作3×2的矩陣。一般的$m\times n$的矩陣的全體記作$F^{m\times n}$。注意到，向量也可以看成是一種特殊的矩陣，所有$n$維行向量的全體$F^{n}$等價於$F^{1\times n}$，所有$m$維列向量的全體$F^{m}$等價於$F^{m\times 1}$。

這裡我們沒有給矩陣這種表達形式賦予它特別的含義，因為它的含義會隨著實際應用的不同而不同。在這裡我們將其看作是對向量的一個擴展即可。矩陣的定義、運算、性質將在後面的章節中詳細的給出。

習題

1. 設集合$A=\{1,2,3\},B=\{4,5,6\},C=\{7,8\}$，寫出$A\times B\times C$；
2. 模仿向量的定義，嘗試定義矩陣；
3. （選做）找一本抽象代數（或近世代數、代數結構）的課本，了解域的定義、性質，以及域上的運算。提示：域是一個集合$R$以及集合上定義的兩種運算「·」、「+」所組成的三元組。