在機率論里必須先定義一個可測空間
- 在 中;
- 如果一個集合 在 中,那麼它的補集 也在 中;
- 如果有可數個集合 都在 中,那麼它們的併集也在 中。
用數學語言來表示,就是
-
-
-
記號 稱為一個可測空間。 稱為機率空間,如果 是一個機率測度,也就是說它必須符合
- 。
- 可加性:若 為 中可數個兩兩不交的集合的序列,則所有 的併集的測度,等於每個 的測度之總和:
-
- 。
-
隨機變量是一個 可測的函數。
機率空間的定義符合我們對日常所說的機率的公理。我們稱 為樣本空間, 為事件集合,其子集為隨機事件。
以扔硬幣為例:如果是一個有 兩面的硬幣。
- 。假設我們賭「 」,如果贏的話可以得到一塊錢,輸的話我們就輸一塊錢,這種情況可以用一個隨機變量 來表示。
- ,
如果這個硬幣沒有做過手腳 那麼隨機事件 的機率 , 隨機事件 的機率 . 符合 可加性。
如果我們同時扔兩個硬幣
-
§1幾個概念
1、隨機實驗:滿足下列三個條件的試驗稱為隨機試驗;
(1)試驗可在相同條件下重複進行;
(2)試驗的可能結果不止一個,且所有可能結果是已知的;
(3)每次試驗哪個結果出現是未知的;隨機試驗以後簡稱為試驗,並常記為E。
例如:
- E1:擲一骰子,觀察出現的總數;
- E2:上拋硬幣兩次,觀察正反面出現的情況;
- E3:觀察某電話交換台在某段時間內接到的呼喚次數。
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2、隨機事件:在試驗中可能出現也可能不出現的事情稱為隨機事件:常記為
例如:在E1中,A表示“掷出2点”,B表示“掷出偶数点”均为随机事件。
3、必然事件與不可能事件:每次試驗必發生的事情稱為必然事件,記為Ω。每次試驗都不可能發生的事情稱為不可能事件,記為Φ。
例如:在E1中,“掷出不大于6点”的事件便是必然事件,而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后,随机事件,必然事件和不可能事件统称为事件。
4、基本事件:試驗中直接觀察到的最簡單的結果稱為基本事件。
例如,在E1中,“掷出1点”,“掷出2点”,……,“掷出6点”均为此试验的基本事件。
由基本事件构成的事件称为复合事件,例如,在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。
5、樣本空間:從集合觀點看,稱構成基本事件的元素為樣本點,常記為 .
例如,在E1中,用数字 表示掷出的点数,而由它们分别构成的单点集 便是E1中的基本事件。在E2中,用 表示正面, 表示反面,此试验的样本点有 , , , ,其基本事件便是 , , , 显然,任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如, 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为 。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为 。
例如,
在E1中,
在E2中,
在E3中,
§2事件間的關係與運算
1、包含:“若事件 的发生必导致事件 发生,则称事件 包含事件 ,记为或 。
例如,在E1中,令件,简称为积,记为 或 。
例如,在E3中,即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中,令 接到偶数次呼唤 , 接到奇数次呼唤 ,则 接到6的倍数次呼唤
5、差:称事件 发生但事件 不发生的事件为 减 的差事件简称为差,记为 。
例如,测量晶体管的 参数值,令 测得 值不超过 , 测得 值不超过 ,则, , 测得 值为
6、互不相容:若事件 与事件 不能同时发生,即 ,则称 与 是互不相容的。
例如,观察某定义通路口在某时刻的红绿灯:若 红灯亮 , 绿灯亮 ,则 与 便是互不相容的。
7、对立:称事件A不发生的事件为 的对立事件,记为 显然 ,