引力波數據分析入門

前言

這是一本中文的引力波（數據分析）入門教科書。

引力波探測的歷史

廣義相對論回顧

時空流形

流形的嚴格數學定義比較抽象。在這裡我們簡單地把時空流行定義為配有度規和聯絡的$\mathbb {R} ^{4}$空間。

坐標變換

對時空流行中的任意一個張量場T，假設其在坐標系$\{x^{\mu }\}$和坐標系$\{x^{\mu '}\}$的分量分別為${T^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{m}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\cdots \nu _{n}}$和${T^{\mu '_{1}\mu '_{2}\cdots \mu '_{m}}}_{\nu '_{1}\nu '_{2}\cdots \nu '_{n}}$，則這兩組分量滿足

${T^{\mu '_{1}\mu '_{2}\cdots \mu '_{m}}}_{\nu '_{1}\nu '_{2}\cdots \nu '_{n}}={\frac {\partial x^{\mu '_{1}}}{\partial x^{\mu _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{\mu '_{m}}}{\partial x^{\mu _{m}}}}{\frac {\partial x^{\nu _{1}}}{\partial x^{\nu '_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{\nu _{n}}}{\partial x^{\nu '_{n}}}}{T^{\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{m}}}_{\nu _{1}\nu _{2}\cdots \nu _{n}}.$

需要注意的是：

1. 張量場T本身和坐標系的選取沒有關係；
2. 張量場T的坐標分量的具體值依賴於坐標系的選取，也就說T在不同的坐標系中會有不同的分量。而這些分量滿足如上的坐標變換關係式。

度規

度規用來定義時空中兩個點的距離。

聯絡

聯絡決定了時空中某個向量如何平移。原則上聯絡和度規是相互獨立的。然而，在廣義相對論中，我們要求所選取的聯絡和度規是相適配的，從而唯一確定了一組聯絡：

1. 待補充

而且需要注意，聯絡的分量並不滿足張量坐標變換率，所以不是張量。

引力波基礎

弱場近似

廣義相對論中的弱場是和平坦時空相比較的。在一個可微流形上，若存在一套坐標系使得度規可以拆分成如下形式：$g_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \beta }+h_{\alpha \beta }$，並且有$|h_{\alpha \beta }|\ll 1$恆成立

引力波的波源

連續引力波源

連續引力波源可以由單個帶自旋的大質量物體（例如密度極大的中子星）產生。 如果這樣的物體（中子星）其表面有突起（bump），或者其表面不是完美的球面，在其自轉的時候就會產生引力波。 如果其自轉的角速度是恆定的（也就是不隨時間變化），那麼其產生的引力波的頻率和振幅也會是恆定的。 我們將性質（比如頻率和振幅）穩定的引力波成為連續引力波。同時，我們稱這樣的物體（中子星）為連續引力波源。

緻密雙星旋進

質量相近的雙星繞著它們的共同質心做橢圓運動。

緻密雙星是指由兩個緻密星體（比如白矮星、黑洞和中子星等）構成的雙星系統。通常有三類產生的引力波可以被LIGO探測到：

1. 雙黑洞系統
2. 雙中子星系統
3. 中子星--黑洞系統

截至2019年3月份，LIGO 和 Virgo 一共探測到10個雙黑洞系統和1個雙中子星系統。引力波探測的下一個目標就是捕捉到中子星--黑洞系統輻射的引力波信號。

近期(2019年3月份)，來自普林斯頓大學的一個研究組聲稱從 LIGO O1 的數據中分析得到另一個引力波信號：GW151216

引力波的波形

引力波探測器

數據分析的一些常用算法

粒子群優化(PSO)算法

粒子群優化 (particle swarm optimization)

PSO算法的動力學演化方程

速度演化方程

$v_{j}^{(i)}[k+1]=w*v_{j}^{(i)}[k]+c_{1}*r_{1},j*(p_{j}^{(i)}[k]-x_{j}^{(i)}[k])+c_{2}*r_{2},j*(g_{j}^{(i)}[k]-x_{j}^{(i)}[k])$

其中${\bar {x}}^{(i)}[k]=(x_{0}^{(i)}[k],x_{1}^{(i)}[k],...,x_{D}^{(i)}[k])$是第 i 個粒子在 第 k 次迭代中的位置， 而${\bar {v}}^{(i)}[k]$ 是第 i 個粒子在 第 k 次迭代中的速度。

位置演化方程

$x_{j}^{(i)}[k+1]=x_{j}^{(i)}[k]+v_{j}^{(i)}[k+1]$

PSO 算法在 julia 程式語言中的實現

PSO算法在julia程式語言中的實現

參考文獻

以下是一些 PSO 算法在引力波數據分析中的應用的參考文獻：

Wang, Yan, and Soumya D. Mohanty. "Particle swarm optimization and gravitational wave data analysis: Performance on a binary inspiral testbed." Physical Review D 81, no. 6 (2010): 063002.

Weerathunga, Thilina S., and Soumya D. Mohanty. "Performance of particle swarm optimization on the fully-coherent all-sky search for gravitational waves from compact binary coalescences." Physical Review D 95, no. 12 (2017): 124030.

Normandin, Marc E., Soumya D. Mohanty, and Thilina S. Weerathunga. "Particle swarm optimization based search for gravitational waves from compact binary coalescences: Performance improvements." Physical Review D 98, no. 4 (2018): 044029.

Srivastava, Varun, K. Rajesh Nayak, and Sukanta Bose. "Toward low-latency coincident precessing and coherent aligned-spin gravitational-wave searches of compact binary coalescences with particle swarm optimization." arXiv preprint arXiv:1811.02401 (2018).

引力波數據分析程序簡介

GstLAL

GstLAL

PyCBC

PyCBC 是一個基於 python 程式語言的引力波數據分析的軟體包。

GWPL

GWPL

參考文獻

點開連結有驚喜。

初級讀本

Poisson, Eric, and Clifford M. Will. Gravity: Newtonian, Post-Newtonian, Relativistic. Cambridge University Press, 2014.

Misner, Charles W., Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, and David I. Kaiser. Gravitation. Princeton University Press, 2017.

Creighton, Jolien DE, and Warren G. Anderson. Gravitational-wave physics and astronomy: An introduction to theory, experiment and data analysis. John Wiley & Sons, 2012.

Schutz, Bernard F. Gravitational wave data analysis. Vol. 253. Springer Science & Business Media, 2012.

進階讀本

Maggiore, Michele. Gravitational Waves: Vol. 1: Theory and Experiments. Oxford university press, 2008.

Maggiore, Michele. Gravitational Waves: Vol. 2: Astrophysics and Cosmology. Oxford University Press, 2018.

Jaranowski, Piotr, and Andrzej Królak. Analysis of gravitational-wave data. Vol. 29. Cambridge University Press, 2009.