國中數學/乘法公式

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國中常見的四個乘法公式分別是

分配律$(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$、

和的平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$、

差的平方公式$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$與

平方差公式$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$。

分配律

證明

利用分配律，${\color {red}(a+b)}(c+d)={\color {red}(a+b)}c+{\color {red}(a+b)}d=ac+bc+ad+bd$

例子

例題$1.$計算$1002\times 197$。

解：$1002\times 197=(1000+2)\times [200+(-3)]=1000\times 200+1000\times (-3)+2\times 200+2\times (-3)=200000-3000+400-6=197394$

例題$2.$計算$673\times 524+227\times 524-673\times 224-227\times 224$。

解：$673\times 524+227\times 524-673\times 224-227\times 224=(673+227)\times (524-224)=900\times 300=270000$

習題

習題$1.$計算$100{\frac {2}{7}}\times 70{\frac {3}{5}}$。

習題$2.$計算$513{\frac {3}{8}}\times 221{\frac {6}{11}}+486{\frac {5}{8}}\times 221{\frac {6}{11}}+513{\frac {3}{8}}\times 178{\frac {5}{11}}+486{\frac {5}{8}}\times 178{\frac {5}{11}}$。

和的平方公式

證明

在$(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$的$c$代入$a$，$d$代入$b$，得到

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ba+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

例子

例題$3.$求$(400{\frac {1}{5}})^{2}$之值。

解：$(400{\frac {1}{5}})^{2}=(400+{\frac {1}{5}})^{2}=400^{2}+2\times 400\times ({\frac {1}{5}})+({\frac {1}{5}})^{2}=160000+160+{\frac {1}{25}}=160160{\frac {1}{25}}$

例題$4.$求$(234{\frac {4}{7}})^{2}+2\times (234{\frac {4}{7}})\times (65{\frac {3}{7}})+(65{\frac {3}{7}})^{2}$之值。

解：$(234{\frac {4}{7}})^{2}+2\times (234{\frac {4}{7}})\times (65{\frac {3}{7}})+(65{\frac {3}{7}})^{2}=(234{\frac {4}{7}}+65{\frac {3}{7}})^{2}=300^{2}=90000$

習題

習題$3.$求$(400.7)^{2}$之值。

習題$4.$求$173^{2}+2\times 173\times 27+27^{2}$之值。

差的平方公式

證明

在和的平方公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$的$b$代入$-b$得到

$(a-b)^{2}=[a+(-b)]^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

例子

例題$5.$求$(699{\frac {6}{7}})^{2}$之值。

解：$(699{\frac {6}{7}})^{2}=(700-{\frac {1}{7}})^{2}=700^{2}+2\times 700\times ({\frac {1}{7}})+({\frac {1}{7}})^{2}=490000-200+{\frac {1}{49}}=489800{\frac {1}{49}}$

例題$6.$求$(123{\frac {7}{13}})^{2}-2\times (123{\frac {7}{13}})\times (23{\frac {7}{13}})+(23{\frac {7}{13}})^{2}$之值。

解：$(123{\frac {7}{13}})^{2}-2\times (123{\frac {7}{13}})\times (23{\frac {7}{13}})+(23{\frac {7}{13}})^{2}=(123{\frac {7}{13}}-23{\frac {7}{13}})^{2}=100^{2}=10000$

習題

習題$5.$求$598^{2}$之值。

習題$6.$求$254.4^{2}-2\times 254.4\times 54.4+54.4^{2}$之值。

平方差公式

證明

在$(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$的$c$代入$a$，$d$代入$-b$，得到

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab+b(-b)=a^{2}-b^{2}$

例子

例題$7.$求$(400{\frac {1}{5}})\times (399{\frac {4}{5}})$之值。

解：$(400{\frac {1}{5}})\times (399{\frac {4}{5}})=(400+{\frac {1}{5}})\times (400-{\frac {1}{5}})=400^{2}-({\frac {1}{5}})^{2}=160000-{\frac {1}{25}}=159999{\frac {24}{25}}$

例題$8.$求$(152{\frac {1}{2}})^{2}-(52{\frac {1}{2}})^{2}$之值。

解：$(152{\frac {1}{2}})^{2}-(52{\frac {1}{2}})^{2}=(152{\frac {1}{2}}+52{\frac {1}{2}})\times (152{\frac {1}{2}}-52{\frac {1}{2}})=205\times 100=20500$

習題

習題$7.$求$599.4\times 600.6$之值。

習題$8.$求$429^{2}-329^{2}$之值。

更多乘法公式

參見：高中數學/乘法公式

• 三個數的平方和：$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$
• 立方和公式：$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
• 立方差公式：$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
• 和的立方公式：$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
• 差的立方公式：$(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

注釋

維基百科中的相關條目：

乘法公式