國中數學/乘法公式

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國中常見的四個乘法公式分別是

分配律 $(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$ 、

和的平方公式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ ^{[註 1]}、

差的平方公式 $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ 與

平方差公式 $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$ 。

分配律

證明

利用分配律， ${\color {red}(a+b)}(c+d)={\color {red}(a+b)}c+{\color {red}(a+b)}d=ac+bc+ad+bd$

例子

例題 $1.$ 計算 $1002\times 197$ 。

解： $1002\times 197=(1000+2)\times [200+(-3)]=1000\times 200+1000\times (-3)+2\times 200+2\times (-3)=200000-3000+400-6=197394$

例題 $2.$ 計算 $673\times 524+227\times 524-673\times 224-227\times 224$ 。

解： $673\times 524+227\times 524-673\times 224-227\times 224=(673+227)\times (524-224)=900\times 300=270000$

習題

習題 $1.$ 計算 $100{\frac {2}{7}}\times 70{\frac {3}{5}}$ 。

習題 $2.$ 計算 $513{\frac {3}{8}}\times 221{\frac {6}{11}}+486{\frac {5}{8}}\times 221{\frac {6}{11}}+513{\frac {3}{8}}\times 178{\frac {5}{11}}+486{\frac {5}{8}}\times 178{\frac {5}{11}}$ 。

和的平方公式

證明

在 $(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$ 的 $c$ 代入 $a$ ， $d$ 代入 $b$ ，得到

$(a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+ba+ab+b^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

例子

例題 $3.$ 求 $(400{\frac {1}{5}})^{2}$ 之值。

解： $(400{\frac {1}{5}})^{2}=(400+{\frac {1}{5}})^{2}=400^{2}+2\times 400\times ({\frac {1}{5}})+({\frac {1}{5}})^{2}=160000+160+{\frac {1}{25}}=160160{\frac {1}{25}}$

例題 $4.$ 求 $(234{\frac {4}{7}})^{2}+2\times (234{\frac {4}{7}})\times (65{\frac {3}{7}})+(65{\frac {3}{7}})^{2}$ 之值。

解： $(234{\frac {4}{7}})^{2}+2\times (234{\frac {4}{7}})\times (65{\frac {3}{7}})+(65{\frac {3}{7}})^{2}=(234{\frac {4}{7}}+65{\frac {3}{7}})^{2}=300^{2}=90000$

習題

習題 $3.$ 求 $(400.7)^{2}$ 之值。

習題 $4.$ 求 $173^{2}+2\times 173\times 27+27^{2}$ 之值。

差的平方公式

證明

在和的平方公式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ 的 $b$ 代入 $-b$ 得到

$(a-b)^{2}=[a+(-b)]^{2}=a^{2}+2a(-b)+(-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

例子

例題 $5.$ 求 $(699{\frac {6}{7}})^{2}$ 之值。

解： $(699{\frac {6}{7}})^{2}=(700-{\frac {1}{7}})^{2}=700^{2}+2\times 700\times ({\frac {1}{7}})+({\frac {1}{7}})^{2}=490000-200+{\frac {1}{49}}=489800{\frac {1}{49}}$

例題 $6.$ 求 $(123{\frac {7}{13}})^{2}-2\times (123{\frac {7}{13}})\times (23{\frac {7}{13}})+(23{\frac {7}{13}})^{2}$ 之值。

解： $(123{\frac {7}{13}})^{2}-2\times (123{\frac {7}{13}})\times (23{\frac {7}{13}})+(23{\frac {7}{13}})^{2}=(123{\frac {7}{13}}-23{\frac {7}{13}})^{2}=100^{2}=10000$

習題

習題 $5.$ 求 $598^{2}$ 之值。

習題 $6.$ 求 $254.4^{2}-2\times 254.4\times 54.4+54.4^{2}$ 之值。

平方差公式

證明

在 $(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd$ 的 $c$ 代入 $a$ ， $d$ 代入 $-b$ ，得到

$(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab+b(-b)=a^{2}-b^{2}$

例子

例題 $7.$ 求 $(400{\frac {1}{5}})\times (399{\frac {4}{5}})$ 之值。

解： $(400{\frac {1}{5}})\times (399{\frac {4}{5}})=(400+{\frac {1}{5}})\times (400-{\frac {1}{5}})=400^{2}-({\frac {1}{5}})^{2}=160000-{\frac {1}{25}}=159999{\frac {24}{25}}$

例題 $8.$ 求 $(152{\frac {1}{2}})^{2}-(52{\frac {1}{2}})^{2}$ 之值。

解： $(152{\frac {1}{2}})^{2}-(52{\frac {1}{2}})^{2}=(152{\frac {1}{2}}+52{\frac {1}{2}})\times (152{\frac {1}{2}}-52{\frac {1}{2}})=205\times 100=20500$