讯号与系统/由系统微分方程式求系统脉冲响应

线性非时变系统

●連續時間線性非時變系統一般可以線性常微分方程式表示 : 
 

$\sum _{n=0}^{N}a_{n}{d^{n}y(t) \over dt^{n}}=\sum _{m=0}^{M}bm{d^{m}x(t) \over dt^{m}}$

其中$\mathbf {y} (t)$为系统输出，$\mathbf {x} (t)$为系统输入。

●此一系統對於任意輸入訊號$\mathbf {x} (t)$的零狀態響應可用旋積運算求得 : 

$\mathbf {y} (t)=x(t)*h(t)$

其中$\mathbf {h} (t)$为系统的单位脉冲响应。

●本附錄將介紹如何由描述系統的線性常微分方程式找出系統的單位脈衝響應。

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寻找系统单位脉冲响应的第一种方法

步驟一 : 將系統的微分方程式中，等號右邊直接以$\mathbf {x} (t)$代替(即子系統$\mathbf {\alpha }$的輸入$\mathbf {x} (t)=\delta (t)$ ，此時的輸出即為子系統$\mathbf {\alpha }$之單位脈衝響應$\mathbf {y} _{1}(t)=h_{a}(t)$)

步驟二 : 將形成新方程式取積分，積分範圍由$\mathbf {t} =0^{-}$到$t=0^{+}$。觀察此一新方程式等號左、右兩邊的特性，可求得一組在$\mathbf {t} =0^{+}$時之初始條件。

步驟三 : 利用步驟二的初始條件，可求得子系統$\mathbf {\alpha }$之單位脈衝響應$\mathbf {h} _{a}(t)$。

步驟四 : 系統的單位脈衝響應$\mathbf {h} (t)$可由$\mathbf {h} _{a}(t)$及其微分之線性組合獲得。也就是 : 

$\mathbf {h} (t)=\sum _{m=0}^{M}bm{d^{m}x(t) \over dt^{m}}$

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范例3.23

試求LTI系統$\tau _{0}{dy(t) \over dt}+y(t)={d \over dt}x(t)+x(t)$ 之單位脈衝響應$h(t)$。

【解】

步驟一 :$\tau _{0}{dh_{a}(t) \over dt}+h_{a}(t)=\delta (t)$

步驟二 :$\int _{0^{-}}^{0^{+}}\tau {dh_{0}(t) \over dt}\,dt+\int _{0^{-}}^{0^{+}}h_{0}(t)\,dt=\int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt$

观察步骤一的方程式，等号左边包含$h_{a}(t)$及$h_{a}(t)$的一切微分，而等式右边仅含有$\delta (t)$。故可推论，$h_{a}(t)$不会包含$\delta (t)$(否则等号左边会有$\delta (t)$的一次微分)但在$t=0$处是一不连续点，即$h_{a}(t^{+})-h_{a}(t^{-})=k<\infty$。

$\Rightarrow \tau _{0}[h_{a}(0^{+})-h_{a}(0^{-})]+0=1$

又由於系統單位脈衝響應是假設無初始條件即$h_{a}(0^{-})=0$

$\Rightarrow h_{a}(0^{+})={1 \over \tau _{0}}$

步驟三 : 對於$t>0$，步驟一的方程式可寫成

$\tau _{0}{dh_{a}(t) \over dt}+h_{a}(t)=0$ $t>0$

$\Rightarrow h_{a}(t)=Ae^{-t/\delta _{0}}$ $t>0$

由步驟二知

$h_{a}(0^{+})={1 \over \tau _{0}}$

$\Rightarrow h_{a}(t)={1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}$

步驟四 : 系統單位脈衝響應

$h(t)={d \over dt}h_{a}(t)$

$={d \over dt}[{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)]+{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)$

$=-{1 \over \tau _{0}^{2}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)+{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}\delta (t)+{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)$

$=({1 \over \tau _{0}}-{1 \over \tau _{0}^{2}})e^{(}-t/\tau _{0})u(t)+{1 \over \tau _{0}}\delta (t)$

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寻找系统单位脉冲响应的第二种方法

●已知系統的單位脈衝響應等於系統的單位步階響應的微分。

●當系統的微分方程式等號右邊沒有輸入訊號$x(t)$的微分時，可先求出系統的單位步階響應再將其微分而得系統的單位脈衝響應$h(t)$。

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范例3.24

一LTI系統之微分方程式為${d^{2}y(t) \over dt^{2}}+3{dy(t) \over dt}+2y(t)=x(t)$試求其單位脈衝響應$h(t)$。

【解】先求單位步階響應$s(t)$

${d^{2}s(t) \over dt^{2}}+3{ds(t) \over dt}+2s(t)=u(t)$

采用传统工程数学解微分方程的方法 :

(1)對於$\mathbf {t} >0$

$\mathbf {d^{2}s(t) \over dt^{2}} +3{ds(t) \over dt^{2}}+2s(t)=1$

$\mathbf {(} D^{2}+3D+2)s(t)=1$

(2)令$\mathbf {\lambda } ^{2}+3\lambda +2=0$  $\mathbf {\Rightarrow } \lambda =-2,-1$

所以 齐性解$\mathbf {s} _{h}(t)=Ae^{-2t}+Be^{-t}$

(3)利用未定係數法求特解$\mathbf {s} _{p}(t)=k$代入方程式

${d^{2}s_{p}(t) \over dt^{2}}+3{ds_{p}(t) \over dt}+2s_{p}(t)=1$

$\mathbf {0} +0+2k=1$

$\Rightarrow k={1 \over 2}$

故$s_{p}(t)={1 \over 2}$

(4)由(2)(3)知

$\mathbf {s} (t)=s_{h}(t)=s_{h}(t)+s_{p}(t)$

$\mathbf {=} Ae^{-2t}+Be^{-t}+{1 \over 2}$

(5)因為$\mathbf {d^{2}s(t) \over dt^{2}} +3{ds(t) \over dt}+2s(t)=u(t)$，故$\mathbf {s} (t)$及$\mathbf {ds(t) \over dt}$在$\mathbf {t} =0$處均 必須為連續。

又假設系統的初始條件為0，即$s(0^{-})=0$，$s\prime (0^{-})=0$。
         

故$\mathbf {s} (0^{+})=s(0^{-})=0$

$s\prime (0^{+})=s\prime (0^{-})=0$

將(5)的初始條件代入(4) 

$\Rightarrow {\begin{cases}A+B+{1 \over 2}=0\\-2A-B=0&\end{cases}}$

$\Rightarrow {\begin{cases}A={1 \over 2}\\B=-1\end{cases}}$

所以$s(t)=[{1 \over 2}e^{-2t}+{1 \over 2}u(t)]$

(6)系統的單位脈衝響應 :

$h(t)={ds(t) \over dt}=[-e^{-2t}+e^{-t}u(t)]+[{1 \over 2}e^{-2t}+{1 \over 2}]\delta (t)$

$\mathbf {=} [-e^{-2t}+e{-t}]u(t)$

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参考资料

●B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

●G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

●余兆棠、李志鹏，信号与系统， 沧海书局，2007。

●Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed.,Prentice Hall International, 2000.

●Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed.,Prentice Hall International, 1998.

●Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

●Rodger E. Ziemer and William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002.

●Simon Haykin, Communication Systems, 4th ed., John Wiley & Sons, 2001.

●John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., Prentice Hall International, 2002.

●Benoit Boulet, Fundamentals of Signals and Systems, Da Vinci Engineering Press, 2005.