信号与系统/指数傅里叶级数
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- 原始语言:Scalar;臺灣:純量;大陆:标量; 当前用字模式下显示为→标量
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- 原始语言:Simple Lie group;臺灣:單純李氏群;大陆:单李群; 当前用字模式下显示为→单李群
- 原始语言:Simplex;臺灣:單體;大陆:单纯形; 当前用字模式下显示为→单纯形
- 原始语言:Simplicial complex;臺灣:單體複形;大陆:单纯复形; 当前用字模式下显示为→单纯复形
- 原始语言:Singularity;臺灣:奇異點;大陆:奇点; 当前用字模式下显示为→奇点
- 原始语言:Splitting field;臺灣:分裂體;大陆:分裂域; 当前用字模式下显示为→分裂域
- 原始语言:Subfield;臺灣:子體;大陆:子域; 当前用字模式下显示为→子域
- 原始语言:Tangent bundle;臺灣:切線束;大陆:切丛; 当前用字模式下显示为→切丛
- 原始语言:Uniform boundedness principle;臺灣:均勻有界原理;大陆:一致有界性原理; 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
- 原始语言:Uniform continuity;臺灣:均勻連續;大陆:一致连续; 当前用字模式下显示为→一致连续
- 原始语言:Uniform convergence;臺灣:均勻收斂;大陆:一致收敛; 当前用字模式下显示为→一致收敛
- 原始语言:Uniform norm;臺灣:均勻範數;大陆:一致范数; 当前用字模式下显示为→一致范数
- 原始语言:Uniform space;臺灣:均勻空間;大陆:一致空间; 当前用字模式下显示为→一致空间
- 原始语言:Union;臺灣:聯集;大陆:并集; 当前用字模式下显示为→并集
- 原始语言:Unitary space;臺灣:么正空間;大陆:酉空間; 当前用字模式下显示为→酉空間
- 原始语言:Unitary group;臺灣:么正群;大陆:酉群; 当前用字模式下显示为→酉群
- 原始语言:Unitary matrix;臺灣:么正矩陣;大陆:酉矩阵; 当前用字模式下显示为→酉矩阵
- 原始语言:Variance;大陆:方差;臺灣:變異數; 当前用字模式下显示为→方差
- 原始语言:Bayes' theorem;大陆:贝叶斯法则;臺灣:貝氏定理; 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则
指数傅里叶级数
编辑假设X(t)为一周期信号,基本周期为0,则X(t)可表示成复指数信号的和: =...+ + + + + +...
=
其中
指数傅里叶级数的系数
编辑三角傅里叶级数
= + )
尤拉公式 :
=
=
x(t)=
= +
= +
=...+
=
其中
以上为指数傅里叶级数的系数 与三角傅里叶级数的系数 及 之关系式
三角傅里叶级数第二式
X(t)=
尤拉公式
= = + X(t)= + =
其中
以上为指数傅里叶级数的系数 与三角傅里叶级数第二式的系数 及 之关系式
由上说明可知,三角傅里叶级数与指数傅里叶级数是完全等效的。
指数傅里叶级数系数的直接算法
编辑假设一周期信号 的基本周期 ,此一信号可表示成指数傅里叶级数 :
X(t)=
其中
直接求系数 :
等號兩邊同乘上 再對時間 t 積分,積一個基本週期 的時間範圍 :
=
= =
故
范例4.12
编辑下图为一方波周期信号 之时域波形,其周期为 ,求此信号之指数傅里叶级数。
...............图
一方波周期信号之时域波形
©余兆棠、李志鹏,信号与系统, 沧海书局,2007。
【解】
= = [ ]
=
整理并改写上述系数为:
最后将此方波周期信号表示成以下之指数傅里叶级数式展开式。
=
信号X(t)的双边幅度频谱和相位频谱
............图
©余兆棠、李志鵬,信號與系統, 滄海書局,2007。
范例4.13
编辑请将信号表示成指数傅里叶级数展开式
= + +
【解】
=
= + +
信号由3项复指数函数组合而成,其频率分别为1000、2000与3000Hz,先找出3项频率的最大公因数为1000,因此信号是一周期信号且其基本频率为1000 Hz( ),仔细观察可发现其表示式已是指数傅里叶级数之型式,因此只要改写成为
= + +
=
=
=
即 ; ; ;
注意: 为一复数周期信号,故不满足于后面将讨论的指数傅里叶级数的对称性(即 ) 。
范例4.14
编辑经过半波整流后的周期弦波信号可表示如下 :
...........................图
此信号仍为周期信号 ,试求其指数傅里叶级数
【解】 周期
指數傅立葉級數 :
=
= [ -
= [ + ] ,
说明:
= +
=
= =
同法可得 :
范例4.15
编辑周期脉冲序列(periodic impulse train) 的定义为
试求其傅里叶级数
..............................图
©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998
【解】 指数傅里叶级数
其中
取积分范围由
= 由
= 在此一范围内
=
的雙邊振幅頻譜如下 :
.....................图
©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.
利用尤拉公式
=
的单边频谱如下 :
..................................图
©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.
常见信号的傅里叶级数
编辑................................................
................................................
.....................图.....................
................................................
指数傅里叶级数系数的对称性
编辑指数傅里叶级数
其係數 :
故
= *表示共軛複數
= 當 為實數函數
=
=
一般而言是複數,用極座標表示 : 表示 的相角
根据上述条件 :
取共軛複數絕對值等
共軛複數的相角差一個負號
结论 :当 为实数周期信号的条件下,其指数傅里叶级数的系数 具
有底下特性: (1) 的絕對值對 n 而言為偶對稱。 (2) 的相位角對 n 而言為奇對稱。
考虑 )为实数偶函数 :
指數傅立葉級數的係數
=
= -
是偶函数, 也是偶函数 是偶函数, 是奇函数
仍为偶函数 为奇函数
=0
=
与 均为实数,故积分结果仍为实数。
結論 : 當 為實數偶函數時,其指數傅立葉級數的係數 為實數 。
同法可证明,当 为实数奇函数时, 的指数傅里叶级数的系数 为纯虚数或 0。
若 为半波奇对称(half-wave odd symmetrical ,即 :
則
证明请同学自行练习
级数 系数 对称性
1.三角正弦-余弦
..........................图
2.复数指数
..........................图
傅里叶级数的变换(1)
编辑幅度转换 :
已知 X(t)=
另一訊號 y(t)=
則y(t)的傅立葉級數為
y(t)=
=
=
故
范例4.16
编辑试求周期信号y(t)的傅里叶级数 :
.........................图
©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003
【解】仔细观察上图可以发现,此一图形与标准的锯齿波X(t)(如下图)存
在一關係 :
............................图
©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.
经查表可知,标准锯齿波x(t)的傅里叶级数为 :
故
其中
傅里叶级数的变换(2)
编辑时间变换
(a) y(t) 為 x(t) 延遲 時間,即y(t)=
y(t)= =
=
=
傅里叶级数的变换
编辑(b) y(t) 为 x(t) 左右翻转,即y(t)=x(-t)
y(t)=x(-t)=
= =
=
故
范例4.17
编辑同范例4.16,改用时间变换搭配幅度变换求解。
【解】首先定义z(t)=x(-t)
©Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.
z(t)=x(-t)=
= =
=
观察 与 可得
大师的风范
编辑同学辛苦了,休息一下并瞻仰一下大师风范!
.........................图
Jean Baptiste Joseph Fourier J. Willard Gibbs