信号与系统/傅里叶转换的范例

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Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 当前语言下显示→通信
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 当前语言下显示→卷积
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 当前语言下显示→数字
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 当前语言下显示→傅里叶
information：大陆：信息；臺灣：資訊； 当前语言下显示→信息
integrated circuit：大陆：集成电路；臺灣：積體電路；香港：集成電路； 当前语言下显示→集成电路
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Noise：臺灣：雜訊；大陆：噪声； 当前语言下显示→噪声
P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 当前语言下显示→P-N结
P-n junction：大陆：P-n结；香港：P-n結；臺灣：P-n接面； 当前语言下显示→P-n结
p-n junction：大陆：p-n结；香港：p-n結；臺灣：p-n接面； 当前语言下显示→p-n结
PN junction：大陆：PN结；香港：PN結；臺灣：PN接面； 当前语言下显示→PN结
Pn junction：大陆：Pn结；香港：Pn結；臺灣：Pn接面； 当前语言下显示→Pn结
pn junction：大陆：pn结；香港：pn結；臺灣：pn接面； 当前语言下显示→pn结
Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 当前语言下显示→信号
Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 当前语言下显示→信噪比
Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 当前语言下显示→七号信令系统
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Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 当前语言下显示→时分
Frequency division：香港：頻分；大陆：频分；臺灣：分頻； 当前语言下显示→频分
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TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 当前语言下显示→时分多址
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 当前语言下显示→频分多址
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 当前语言下显示→码分多址
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 当前语言下显示→空分多址
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 当前语言下显示→时分复用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 当前语言下显示→频分复用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 当前语言下显示→空分复用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 当前语言下显示→波分复用
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 当前语言下显示→集成数字增强网络
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 当前语言下显示→通用分组无线服务
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 当前语言下显示→扩频
spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 当前语言下显示→扩谱
Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 当前语言下显示→分组
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 当前语言下显示→蜂窝数据
Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 当前语言下显示→蜂窝网络
Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 当前语言下显示→比特
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 当前语言下显示→时隙
error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 当前语言下显示→纠错码
Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 当前语言下显示→信息论
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 当前语言下显示→信息论
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 当前语言下显示→采样定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 当前语言下显示→香农
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 当前语言下显示→模拟广播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 当前语言下显示→模拟电视
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 当前语言下显示→清晰度
Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 当前语言下显示→数字广播
Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 当前语言下显示→数字电视
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External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 当前语言下显示→外置
Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 当前语言下显示→机顶盒
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USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 当前语言下显示→USB电视棒
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Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 当前语言下显示→信息技术
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臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
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原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
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原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
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原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
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原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
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原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
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原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

范例5.1

试求y(t)= $e^{-\alpha t}u(t)$ ， $\alpha >0$ 之傅里叶转换，并绘出y(t)的频谱。

                                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

【解】  $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
       = $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-\alpha t}u(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
      = $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)e^{-(\alpha +j2\pi f)t}\,dt$ 
      = ${\frac {-1}{\alpha +j2\pi f}}e^{-(\alpha +j2\pi f)t}\,dt\mid _{0}^{\infty }$

      = ${\frac {1}{\alpha +j2\pi f}}$

范例5.1(续)

$\mid Y(f)\mid =\mid {\frac {1}{\alpha +j2\pi f}}\mid ={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}+4\pi ^{2}f^{2}}}}$

$\angle Y(f)=\angle ({\frac {1}{\alpha +j2\pi f}})=\angle 1-\angle (\alpha +j2\pi f)$

$=0-\tan ^{-1}({\frac {2\pi f}{\alpha }})$

$=-\tan ^{-}{1}({\frac {2\pi f}{\alpha }})$

                                 © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

范例5.2

试求 $\chi _{2}(t)=e^{-a\mid t\mid }$ ，a>0之傅里叶转换

【解】 $\chi _{2}(f)$ = $\Im$ { $\chi _{2}(t)$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }y(t)\chi _{2}(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

 =  $\int _{-\infty }^{0}e^{at}e^{-j2\pi ft}\,dt$ + $\int _{0}^{\infty }e^{-at}e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
 =  ${\frac {1}{a-j2\pi f}}$  + ${\frac {1}{a+j2\pi f}}$ 
 = ${\frac {2a}{a^{2}+(2\pi f)^{2}}}$

 假設a=2

                                         ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

范例5.3

试求 $\chi (t)=rect{\frac {t}{\tau }}$ 的傅里叶转换。

【解】

                                © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

           (1)用頻率f： $\mathrm {X} (f)$ = $\Im$ { $\chi _{2}(t)$ } = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{-\infty }^{\infty }rect{\frac {t}{\tau }}e^{-j2\pi ft}\,dt$ = $\int _{\frac {-\tau }{2}}^{\frac {\tau }{2}}1e^{-j2\pi ft}\,dt$ = ${\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}\mid _{\frac {\tau }{2}}^{\frac {\tau }{2}}$

= ${\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}$ ( $e^{j\pi f\tau }-e^{j\pi f\tau }$ )

= $\tau {\frac {\sin(\pi f\tau )}{\pi f\tau }}$ = $\tau sinc(\tau f)$

            sinc(x)= ${\frac {\sin(\pi \chi )}{\pi \chi }}$

范例5.3(续)

(2)用角频率 $\omega$ ： $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )=\int _{-\infty }^{infty}e^{-j\omega t}\,dt$

$=\int _{-\infty }^{infty}rect({\frac {t}{\tau }})e^{-j\omega t}\,dt$

= $\int _{-{\frac {t}{\tau }}}^{\frac {t}{\tau }}1e^{-j\omega t}\,dt$

= ${\frac {1}{-j\omega }}$ ( $e^{-j\omega {\frac {t}{\tau }}}-e^{-j\omega {\frac {t}{\tau }}}$ )

= $\tau {\frac {\sin {\frac {\omega \tau }{2}}}{\frac {\omega \tau }{2}}}$

= $\tau sa({\frac {\omega \tau }{2}})$

            $sa(y)={\frac {\sin(y)}{y}}$

范例5.3(续)

定义： $sinc(x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$

     $Sa(y)={\frac {\sin(y)}{y}}$

范例5.3(续)

                            © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

范例5.4

试求 $x_{b}(t)=rect(t+{\frac {1}{2}})-rect(t-{\frac {1}{2}})$ 的傅里叶转换

【解】 $x_{b}(f)=\int _{-1}^{0}e^{-j2\pi ft}\,dt-\int _{0}^{1}e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $-{\frac {1}{j2\pi f}}$ [ $e^{-j2\pi ft}\mid _{-}1^{0}-e^{-j2\pi ft}\mid _{0}^{1}$ ]

= $-{\frac {1}{j2\pi f}}$ ( $1-e^{j2\pi ft}-e^{-j2\pi ft}+1$ )

                                           $e^{j2\pi ft}+e^{-j2\pi ft}$

                                                = $2\cos 2\pi f$

= $-{\frac {1}{j2\pi f}}$ [ $2-2\cos(2\pi f)$ ]

= ${\frac {j}{\pi f}}(1-\cos 2\pi f)$

                                         $1-\cos 2\pi f$

                                         = $2\sin ^{2}(\pi f)$

= $j2{\frac {\sin ^{2}\pi f}{\pi f}}$

= $j2\pi fsinc^{2}(f)$

                               © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

范例5.4(续)

                                     © Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems:  Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

说明： $\mathrm {X} _{b}(f)=j2\pi fsinc^{2}(f)$

     $\Rightarrow \mathrm {X} _{b}\omega (\omega )=j\omega ({\frac {\sin \pi f}{\pi f}})^{2}$ 
                                = $j\omega$ [ ${\frac {\sin({\frac {\omega }{2}})}{\frac {\omega }{2}}}$ ] $^{2}$                                  
                                = $j\omega sa^{2}{\frac {\omega }{2}}$

范例5.5

试求直流信号 $\chi (t)=1$ , $-\infty <t<\infty$ 的傅里叶转换

【解】 $\mathrm {X} (f)$ = $\int _{-\infty }^{\infty }1e^{-j2\pi ft}\,dt$

    = $\lim _{T\to \infty }\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}1e^{-j2\pi ft}\,dt$

    = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{-j2\pi f}}e^{-j2\pi ft}\,dt\mid _{-}{\frac {t}{2}}^{\frac {t}{2}}$

   = $\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{-j2\pi f}}$ [ $e^{-j2\pi ft}-e^{j2\pi ft}$ ]

= ${\frac {1}{\pi f}}\lim _{T\to \infty }\sin(\pi fT)$

因为 $\lim _{T\to \infty }\sin(\pi fT)$ 不存在，故 $\chi (t)=1$ 的傅里叶转换不收敛。由此范例可知，直流信号 $\chi (t)=1$ 的傅里叶转换不存在。很多常用的信号模型如 $\cos ,\sin ,\delta (t),u(t)$ 等其傅里叶转换均不存在! 下节将介绍广义的傅里叶转换(generalized Fourier transform)来解决此一问题

广义的傅里叶转换

为了让一些常用的信号模型如 $\sin ,\cos$ 复指数信号 $(e^{-j2\pi ft}),\delta (t),u(t)$ 可作傅里叶转换，将其扩展为包含极限的定义，也就是广义的傅里叶转换。

例如：

     (1) $\Im$  { $\cos 2\pi f_{0}t$ } = $\lim _{\alpha \to 0}\Im$   { $exp(-\alpha \mid t\mid )\cos 2\pi f_{0}t$ } , $\alpha >0$

     = ${\frac {1}{2}}$  { $\delta (f-f_{0})+\delta (f+f_{0})$ }

    (2) $\Im$  { $\delta (t)$ }=  $\lim _{\epsilon \to 0}$  $\Im$  { $\delta _{\epsilon }(t)=rect(t/2\epsilon )/(2\epsilon )$ } =1
 
    (3) $\Im$  {A} = $\lim _{T\to \infty }\Im$  { $Arect(t/T)$ }=A $\delta (f)$

范例5.6

试求函数 $\delta (t)$ 的傅里叶转换。

【解】 $\Im$ { $\delta (t)$ }= $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

                                  $\chi (t)\delta (t)=\chi (0)\delta (t)$

   =  $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)e^{-j2\pi f0}\,dt$ 
   = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t),dt$ =1

所以： $\delta (t)\leftrightarrow 1$

                                        ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

由上图知，单位脉冲信号 $\delta (t)$ 包含所有频率且不同频率之幅度均相等。

范例5.7

试求 $\delta (f)$ 的傅里叶逆转换

【解】 $\Im ^{-1}$  { $\delta (f)$  }=  $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f)e^{j2\pi ft}\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f)e^{j2\pi 0t}\,df$ = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (f)\,df=1$

所以： $1\leftrightarrow \delta (f)$ 物理意义：大小为1的常数信号为一直流信号，故其频谱只在f=0处存在

                    一單位脈衝函數
                           
                                            ©余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

注意：根据上述关系可知。 $Im$ { $1$ }= $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\pi ft}\,dt=\delta (f)$ 积分公式： $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\pi ft}\,dt=\delta (f)$

范例5.8

试求 $2\pi \delta (\omega )$ 的傅里叶逆转换。

【解】 $\Im ^{-1}$ { $2\pi \delta (\omega )$ }= ${\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }2\pi \delta (\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\omega )e^{j0t}\,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (\omega )\,d\omega =1$ 所以： $1\leftrightarrow 2\pi \delta (\omega )$

 注意 ：根據上述關係可知 $Im$  {1} = $\int _{-\infty }^{\infty }1e^{-j\omega t}\,dt=2\pi \delta (\omega )$

积分公式： $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-j\omega t}\,dt=\delta (\omega )$

                                     © B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$

        $\delta (k\chi )={\frac {1}{\left|k\right|}}\delta (\chi )$      $k\neq 0$

【证明】 (1)假设k>0 $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (k\chi )\,dx$

                                                 令y= $k\chi$ 
                                                  dy= $kd\chi$

                          = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,({\frac {y}{k}})$

                          = ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,dy$

                          = ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx$

                          = $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{k}}\delta (x)\,dx$

                        故 $\delta (k\chi )={\frac {1}{k}}\delta (\chi )$    k>0

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$ (续)

(2)假設k<0          $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (k\chi )\,dx$ 
                                           令y= $k\chi$ 
                                            dy= $kd\chi$ 
                   
                 因為k<0
                     
                          = $\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,{\frac {dy}{k}}$

                          =- ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (y)\,dy$

                          =- ${\frac {1}{k}}\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x)\,dx$

                          = $\int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {1}{k}}\delta (x)\,dx$

                        故 $\delta (k\chi )=-{\frac {1}{k}}\delta (\chi )$    k<0

结论： (1) $\delta (k\chi )={\frac {1}{\left|k\right|}}\delta (\chi )$ $k\neq 0$

       (2)k=-1

$\delta (-\chi )=\delta (\chi )$ 即 $\delta (\chi )$ 为一偶函数。

范例5.9

试求 $\chi (t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 之傅里叶转换，其中 $f_{0}$ 为一固定频率。

【解】 $\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

                 = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{j2\pi f_{0}t}e^{-j2\pi ft}\,dt$ 
   
                 = $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi (f-f_{0})t}\,dt$ 
                                           根據積分公式 $\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt=\delta (f)$

                 = $\delta (f-f_{0})$

$\mathrm {X} _{\omega }(\omega )=\mathrm {X} ({\frac {\omega }{2\pi }})=\delta ({\frac {\omega -\omega _{0}}{2\pi }})$

      $\omega =2\pi f$ 
       $\omega _{0}=2\pi f_{0}$

                    = $2\pi \delta (\omega -\omega _{0})$

由 $\mathrm {X} (f)$ (或 $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )$ )可知， $\chi (t)=e^{j2\pi f_{0}t}$ 为仅具有单一频率 $f_{0}$ 的信号

范例5.10

试求符号函数(sign function)y(t)= $\operatorname {sgn}(t)$ 的傅里叶转换。

【解】符号函数

                    $sgn(t)=$ 1  t>0 ;  -1  t<0

$\Rightarrow \operatorname {sgn}(t)=$ [ $\lim _{a\to 0}e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)$ ] a>0

Y(f)= $\Im$ { $sgn(t)$ }= [ $\lim _{a\to 0}e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)$ ]

                                                 © Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

范例5.10(续)

$\Im$ [e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(-t)]

= $\int _{-\infty }^{\infty }$ { $e^{-at}u(t)-e^{-a(-t)}u(t)$ } $e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-at}u(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ - $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(-t)}u(-t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{0}^{\infty }e^{-at}e^{-j2\pi ft}\,dt$ - $\int _{-\infty }^{0}e^{-a(-t)}u(t)e^{-j2\pi ft}\,dt$

= $\int _{0}^{\infty }e^{-(a+j2\pi f)t}\,dt$ - $\int _{-\infty }^{0}e^{-(-a+j2\pi f)t}\,dt$

= ${\frac {1}{a+j2\pi f}}+{\frac {1}{-a+j2\pi f}}={\frac {j4\pi f}{-[a^{2}+4\pi ^{2}f^{2}]}}$

范例5.10(续)

Y(f)= $\Im$ { sgn(t) }= $\lim _{a\to 0}{\frac {j4\pi f}{-(a^{2}+4\pi ^{2}f^{2})}}$ = ${\frac {j4\pi f}{-4\pi ^{2}f^{2}}}$ = ${\frac {1}{j\pi f}}$

所以sgn(t) $\leftrightarrow {\frac {1}{j\pi f}}(={\frac {2}{j\omega }},\omega =2\pi f)$

                                            © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

信号与系统/傅里叶转换的范例

范例5.1

范例5.1(续)

范例5.2

范例5.3

范例5.3(续)

范例5.3(续)

范例5.3(续)

范例5.4

范例5.4(续)

范例5.5

广义的傅里叶转换

范例5.6

范例5.7

范例5.8

δ ( k χ ) v . s . δ ( χ ) {\displaystyle \delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )}

δ ( k χ ) v . s . δ ( χ ) {\displaystyle \delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )} (续)

范例5.9

范例5.10

范例5.10(续)

范例5.10(续)

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$

$\delta (k\chi )v.s.\delta (\chi )$ (续)