信号与系统/三角傅里叶级数

• Audio：大陆：音频；臺灣：音訊； 当前语言下显示→音频
• Channel：大陆：信道；臺灣：通道； 当前语言下显示→信道
• Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 当前语言下显示→通信
• Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 当前语言下显示→卷积
• Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 当前语言下显示→数字
• Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 当前语言下显示→傅里叶
• information：大陆：信息；臺灣：資訊； 当前语言下显示→信息
• integrated circuit：大陆：集成电路；臺灣：積體電路；香港：集成電路； 当前语言下显示→集成电路
• logic gate：大陆：逻辑门；香港：邏輯門；臺灣：邏輯閘； 当前语言下显示→逻辑门
• Noise：臺灣：雜訊；大陆：噪声； 当前语言下显示→噪声
• P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 当前语言下显示→P-N结
• P-n junction：大陆：P-n结；香港：P-n結；臺灣：P-n接面； 当前语言下显示→P-n结
• p-n junction：大陆：p-n结；香港：p-n結；臺灣：p-n接面； 当前语言下显示→p-n结
• PN junction：大陆：PN结；香港：PN結；臺灣：PN接面； 当前语言下显示→PN结
• Pn junction：大陆：Pn结；香港：Pn結；臺灣：Pn接面； 当前语言下显示→Pn结
• pn junction：大陆：pn结；香港：pn結；臺灣：pn接面； 当前语言下显示→pn结
• Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 当前语言下显示→信号
• Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 当前语言下显示→信噪比
• Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 当前语言下显示→七号信令系统
• Time-invariant system：大陆：时不变系统；臺灣：非時變系統； 当前语言下显示→时不变系统
• Video：大陆：视频；臺灣：視訊；香港：影片； 当前语言下显示→视频
• modulation：大陆：调制；香港：調制；臺灣：調變； 当前语言下显示→调制
• vestigial sideband：大陆：残余边带；臺灣：殘邊帶； 当前语言下显示→残余边带
• amplitude：大陆：幅度；臺灣：振幅； 当前语言下显示→幅度
• PSK：臺灣：相位移鍵；大陆：移相键控； 当前语言下显示→移相键控
• Mobile communication：臺灣：行動通訊；大陆：移动通信；香港：流動通訊； 当前语言下显示→移动通信
• Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 当前语言下显示→时分
• Frequency division：香港：頻分；大陆：频分；臺灣：分頻； 当前语言下显示→频分
• Code division：香港：碼分；大陆：码分；臺灣：分碼； 当前语言下显示→码分
• TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 当前语言下显示→时分多址
• FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 当前语言下显示→频分多址
• CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 当前语言下显示→码分多址
• SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 当前语言下显示→空分多址
• TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 当前语言下显示→时分复用
• FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 当前语言下显示→频分复用
• SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 当前语言下显示→空分复用
• WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 当前语言下显示→波分复用
• iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 当前语言下显示→集成数字增强网络
• GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 当前语言下显示→通用分组无线服务
• spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 当前语言下显示→扩频
• spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 当前语言下显示→扩谱
• Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 当前语言下显示→分组
• Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 当前语言下显示→蜂窝数据
• Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 当前语言下显示→蜂窝网络
• Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 当前语言下显示→比特
• Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 当前语言下显示→时隙
• error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 当前语言下显示→纠错码
• Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 当前语言下显示→信息论
• Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 当前语言下显示→信息论
• Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 当前语言下显示→采样定理
• Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 当前语言下显示→香农
• Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 当前语言下显示→模拟广播
• Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 当前语言下显示→模拟电视
• Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 当前语言下显示→清晰度
• Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 当前语言下显示→数字广播
• Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 当前语言下显示→数字电视
• DVB-H：大陆：手持地面无线；臺灣：手持式數位視訊廣播；香港：手持式數碼視訊廣播； 当前语言下显示→手持地面无线
• External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 当前语言下显示→外置
• Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 当前语言下显示→机顶盒
• USB Digital TV tuner：大陆：USB数字电视棒；香港：高清USB手指；臺灣：USB數位電視棒； 当前语言下显示→USB数字电视棒
• USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 当前语言下显示→USB电视棒
• diversity：大陆：分集；臺灣：多樣； 当前语言下显示→分集
• Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 当前语言下显示→呼叫转移
• Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 当前语言下显示→信息技术
• Landline：大陆：固定电话；臺灣：固網電信；香港：固網電訊； 当前语言下显示→固定电话
• China Telecom：简体：中国电信；繁體：中國電信； 当前语言下显示→中国电信
• Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 当前语言下显示→帧

1. 臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 当前用字模式下显示为→方向导数
2. 臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 当前用字模式下显示为→积分形式
3. 臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 当前用字模式下显示为→微分形式
4. 臺灣：約束；大陆：约束； 当前用字模式下显示为→约束
5. 原始语言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 当前用字模式下显示为→博雷尔
6. 原始语言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 当前用字模式下显示为→克里斯托费尔
7. 原始语言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 当前用字模式下显示为→克利福德
8. 原始语言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 当前用字模式下显示为→埃拉托斯特尼
9. 原始语言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 当前用字模式下显示为→傅里叶
10. 原始语言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 当前用字模式下显示为→弗罗贝尼乌斯
11. 原始语言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 当前用字模式下显示为→豪斯多夫
12. 原始语言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 当前用字模式下显示为→列维-奇维塔
13. 原始语言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 当前用字模式下显示为→洛必达
14. 原始语言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 当前用字模式下显示为→马尔可夫
15. 原始语言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 当前用字模式下显示为→泊松
16. 原始语言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 当前用字模式下显示为→勒让德
17. 原始语言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 当前用字模式下显示为→施瓦兹
18. 原始语言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 当前用字模式下显示为→阿列夫
19. 原始语言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 当前用字模式下显示为→阿列夫数
20. 原始语言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 当前用字模式下显示为→代数相关
21. 原始语言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 当前用字模式下显示为→代数无关
22. 原始语言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 当前用字模式下显示为→代数闭域
23. 原始语言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 当前用字模式下显示为→自守形式
24. 原始语言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 当前用字模式下显示为→双射
25. 原始语言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 当前用字模式下显示为→丛
26. 原始语言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 当前用字模式下显示为→中心极限定理
27. 原始语言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 当前用字模式下显示为→典型群
28. 原始语言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 当前用字模式下显示为→闭图像定理
29. 原始语言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 当前用字模式下显示为→上同调
30. 原始语言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 当前用字模式下显示为→复平面
31. 原始语言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 当前用字模式下显示为→复指数
32. 原始语言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 当前用字模式下显示为→复结构
33. 原始语言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 当前用字模式下显示为→互素
34. 原始语言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 当前用字模式下显示为→协方差
35. 原始语言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 当前用字模式下显示为→分圆域
36. 原始语言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 当前用字模式下显示为→导出代数
37. 原始语言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 当前用字模式下显示为→导出函子
38. 原始语言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 当前用字模式下显示为→导集
39. 原始语言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 当前用字模式下显示为→控制收敛定理
40. 原始语言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 当前用字模式下显示为→本征函数
41. 原始语言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 当前用字模式下显示为→扩张域
42. 原始语言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 当前用字模式下显示为→斐波那契数列
43. 原始语言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 当前用字模式下显示为→域扩张
44. 原始语言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 当前用字模式下显示为→域论
45. 原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
46. 原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
47. 原始语言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 当前用字模式下显示为→整体域
48. 原始语言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 当前用字模式下显示为→线性相关
49. 原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
50. 原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
51. 原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
52. 原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
53. 原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
54. 原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
55. 原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
56. 原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
57. 原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
58. 原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
59. 原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
60. 原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
61. 原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
62. 原始语言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 当前用字模式下显示为→道路连通
63. 原始语言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 当前用字模式下显示为→素理想
64. 原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
65. 原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
66. 原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
67. 原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
68. 原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
69. 原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
70. 原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
71. 原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
72. 原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
73. 原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
74. 原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
75. 原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
76. 原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
77. 原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
78. 原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
79. 原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
80. 原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
81. 原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
82. 原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
83. 原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
84. 原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
85. 原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
86. 原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
87. 原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
88. 原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
89. 原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
90. 原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
91. 原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
92. 原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
93. 原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

傅里叶级数的观念

傅里叶(Jean Baptiste Joseph Fourier)(1768-1830)首先提出一个周期信号可以表示成弦波信号的和。

假设x(t)为一周期信号，其基本周期为$T^{0}$，则x(t)可表示成弦波信号的和：

$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cosn\omega _{0}t+b_{n}sinn\omega _{0}t]$

其中$\omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$

因为是用弦波信号的和来表示周期信号，故上述称为三角傅里叶级数。

三角傅里叶级数的系数

三角傅里叶级数：$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cosn\omega _{0}t+b_{n}sinn\omega _{0}t]$

如何求系数:$a_{0}$,$a_{n}$,及$b_{n}$?

求$a_{0}$：

将上式等号两边分别对t积分，积分范围为一个基本周期$T0$，也就是$[t_{1},t_{1}+T_{o}]$，t1可为任意值。

$\int _{T_{0}}^{}x(t)\,dt=\int _{T_{0}}^{}a_{0}\,dt+{\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}a_{1}cos\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}+{\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}a_{2}cos2\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}+...$

$+{\begin{matrix}\ \underbrace {\int _{T_{0}}^{}b_{1}sin\omega _{0}t\,dt} \\0\end{matrix}}+{\begin{matrix}\ \underbrace {\int _{T_{0}}^{}b_{2}sin2\omega _{0}t\,dt} \\0\end{matrix}}+...$

注意：任何弦波信号积分一个周期或整数个周期结果均等于0

$\Longleftrightarrow \int _{T^{0}}^{}x(t)\,dt=a_{0}T^{0}$

故$a_{0}={\begin{matrix}\underbrace {{\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\,dt} \\x(t)average\end{matrix}}$

求第 k 项的系数$a_{k}$及$b_{k}(k\neq 0)$

(一)将三角傅里叶级数等号两边同乘上$cosk$$\omega _{0}t$再对时间t积分，积分范围为$T_{0}$。 $\int _{T_{0}}^{}cosk\omega _{0}t\,dt={\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}a_{0}cosk\omega _{0}t\,dt} \\0\end{matrix}}+\int _{T_{0}}^{}\,(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}cosn\omega _{0}t)cosk\omega _{0}tdt+\int _{T_{0}}^{}\,(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}cosn\omega _{0}t)cosk\omega _{0}tdt$

$\int _{T_{0}}^{}cosk\omega _{0}t\,dt=\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}cos\omega _{0}tcosk\omega _{0}t\,dt} \\=I_{3}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not equal to k}}\\{\frac {T_{0}}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is equal to k}}\end{cases}}\end{matrix}}+b_{n}{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}sinn\omega _{0}tcosk\omega _{0}t\,dt} \\=I_{1}=0\end{matrix}}]$

$\int _{T_{0}}^{}x(t)cosk\omega _{0}t\,dt=a_{k}{\frac {T_{0}}{2}}$

$\Rightarrow a_{k}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)cosk\omega _{0}t\,dt$

(二)将三角傅里叶级数等号两边同乘上$sink$$\omega _{0}t$再对时间t积分，积分范围为$T_{0}$。

$\int _{T_{0}}^{}sink\omega _{0}t\,dt$=${\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}a_{0}sink\omega _{0}t\,dt} \\0\end{matrix}}$+$\int _{T_{0}}^{}(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}cosn\omega _{0}t)sink\omega _{0}t\,dt$+$\int _{T_{0}}^{}(\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}sinn\omega _{0}t)sink\omega _{0}t\,dt$

$\int _{T_{0}}^{}sink\omega _{0}t\,dt$=$\sum _{k=1}^{\infty }[a_{n}{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}cosn\omega _{0}tsink\omega _{0}t\,dt} \\=I_{1}=0\end{matrix}}+b_{n}{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}sinn\omega _{0}tsink\omega _{0}t\,dt} \\=I_{2}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is equal k}}\\{\frac {T_{0}}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not equal to k}}\end{cases}}\end{matrix}}]$

$\int _{T_{0}}^{}sink\omega _{0}t\,dt=b_{x}{\frac {T_{0}}{2}}$

$\Rightarrow b_{k}={\frac {2}{T_{0}}}=\int _{T_{0}}^{}sink\omega _{0}t\,dt$

说明 $I_{1}\equiv \int _{T_{0}}^{}cosn\omega _{0}tsink\omega _{0}\,dt$

若$n\neq k$

$I_{1}={\frac {1}{2}}[{\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}sin(n+k)\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}sin(n-k)\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}]=0$

若$n=k$

$I_{1}=\int _{T_{0}}^{}cosk\omega _{0}tsink\omega _{0}t\,dt={\frac {1}{2}}\int _{T_{0}}^{}sin2k\omega _{0}t\,dt=0$

所以$I_{1}=\int _{T_{0}}^{}cosn\omega _{0}tsink\omega _{0}t\,dt=0$

说明 $I_{2}\equiv \int _{T_{0}}^{}sinn\omega _{0}tsink\omega _{0}\,dt$

若$n\neq k$

$I_{1}={\frac {1}{2}}[{\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}cos(n-k)\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}cos(n+k)\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}]=0$

若$n=k$

$I_{2}=\int _{T_{0}}^{}sink\omega _{0}tsink\omega _{0}t\,dt=\int _{T_{0}}^{}sin^{2}\omega _{0}t\,dt$

$=\int _{T_{0}}^{}{\frac {1-cos2k\omega _{0}t}{2}}\,dt=\int _{T_{0}}^{}{\frac {1}{2}}\,dt$-${\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}{\frac {1}{2}}cos2k\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}={\frac {T_{0}}{2}}$

所以$I_{2}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is equal k}}\\{\frac {T_{0}}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not equal to k}}\end{cases}}$

说明 $I_{3}\equiv \int _{T_{0}}^{}cosn\omega _{0}tcosk\omega _{0}\,dt$

若$n\neq k$

$I_{3}={\frac {1}{2}}[{\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}cos(n-k)\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}$ - ${\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}cos(n+k)\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}]=0$

若$n=k$

$I_{3}=\int _{T_{0}}^{}cos^{2}k\omega _{0}t\,dt=\int _{T_{0}}^{}{\frac {1+cos2k\omega _{0}t}{2}}\,dt$

$=\int _{T_{0}}^{}{\frac {1}{2}}\,dt$+${\begin{matrix}0\\\overbrace {\int _{T_{0}}^{}{\frac {1}{2}}cos2k\omega _{0}t\,dt} \end{matrix}}={\frac {T_{0}}{2}}$

$I_{3}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is equal k}}\\{\frac {T_{0}}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is not equal to k}}\end{cases}}$

三角傅里叶级数(整理)

一个基本周期为$T_{0}$的周期信号可表示成三角傅里叶级数：

$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cosn\omega _{0}t+b_{n}sin\omega _{0}t]$

其中

$a_{0}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\,dt$ ($x(t)$的平均值)

$a_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)cosn\omega _{0}t\,dt$ $(n\neq 0)$

$b_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)sinn\omega _{0}t\,dt$ $(n\neq 0)$

三角傅里叶级数第二式

利用三角函数的公式

$a_{n}cosn\omega _{0}t+b_{n}sinn\omega _{0}t=c_{n}cos(n\omega _{0}+\theta _{n})$

其中: $c_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

$\theta _{n}=tan^{-}1{\frac {-b_{n}}{a_{n}}}$

故:$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}cosn\omega _{0}t+b_{n}sinn\omega _{0}t)$

=$a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})$

令$c_{0}=a_{0}\Rightarrow x(t)=c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})$

......三角傅里叶级数第二式

函数不连续点之级数收敛值

不连续点：傅里叶级数收敛至不连续点之左、右极限的平均值。

图出处©Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed., Prentice Hall International, 1998.

傅里叶级数存在的条件

Dirichlet 条件：

1 .$x(t)$在一个周期内只存在有限个不连续点，且这些不 连续点均为有限值。

2 .$x(t)$在一个周期内只有有限个极大值和极小值。

3 .$X(t)$在一个周期内为绝对可积，即

$\int _{t_{1}+T_{0}}^{t_{1}}\left|x(t)\right|\,dt<\infty$ $t_{1}$为任意时间

若$x(t)$满足 Dirichlet 条件，则$x(t)$可表示成傅立 叶级数。

范例4.10

试求周期方波$x(t)$之三角傅里叶级数。

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】$x(t)$的基本周期为$T_{0}=2\pi \Rightarrow \omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}=1$

$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cosnt+b_{n}sinnt]$

$a_{0}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{\frac {-\pi }{2}}^{\frac {\pi }{2}}\,dt={\frac {1}{2}}$

$a_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)cosnt\,dt={\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-\pi }{2}}^{\frac {\pi }{2}}cosnt\,dt={\frac {2}{n\pi }}sin({\frac {n\pi }{2}})$

$={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {2}{n\pi }},&{\mbox{ }}n{\mbox{=1,5,9,13...}}\\{\frac {-2}{n\pi }},&{\mbox{ }}n{\mbox{=3,7,11,15...}}\end{cases}}$

$b_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)sinnt\,dt={\frac {1}{\pi }}\int _{\frac {-\pi }{2}}^{\frac {\pi }{2}}sinnt\,dt=0$

$x(t)={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{\pi }}(cost-{\frac {1}{3}}cos3t+{\frac {1}{5}}cos5t-{\frac {1}{7}}cos7t+...)$

$-cosx=cos(x-\pi )$

$={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{\pi }}[cost+{\frac {1}{3}}cos(3t-\pi )+{\frac {1}{5}}cos5t+{\frac {1}{7}}cos(7t-\pi )+...]$

=$c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}cos(nt+\theta _{n})$

其中 $c_{0}={\frac {1}{2}}$

$c_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {2}{n\pi }},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\end{cases}}$

$\theta _{n}={\begin{cases}-\pi ,&{\mbox{ }}n{\mbox{=3,7,11,15...}}\\0,&{\mbox{ }}{\mbox{other}}\end{cases}}$

$x(t)$的频谱

由于$\theta _{n}$只有0与$-\pi$两个可能，故可将幅度频谱与相位频谱合并，如下：

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

范例4.11

试求三角波周期信号$x(t)$的三角傅里叶级数。

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

【解】

$x(t)$的基本周期$T_{0}=2\Rightarrow \omega _{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}=\pi$

$x(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }[a_{n}cosn\pi t+b_{n}sinn\pi t]$

由图形知，积分范围可取$t={\frac {-1}{2}}$到$t={\frac {3}{2}}$，此时

$x(t)=2At,\left|t\right|\leq {\frac {1}{2}}$ and $x(t)=2A(1-t),{\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {3}{2}}$

(1)$a_{0}=0\gets x(t)$的平均值为0

(2)$a_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)cosn\pi t\,dt$

=${\frac {2}{2}}\int _{\frac {-1}{2}}^{\frac {3}{2}}x(t)cosn\pi t\,dt$

=$\int _{\frac {-1}{2}}^{\frac {1}{2}}2Atcosn\pi t\,dt+\int _{\frac {1}{2}}^{\frac {3}{2}}2A(1-t)cosn\pi t\,dt=0\rightarrow$说明:可用函数的奇偶对称性看出

$b_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)sin(n\pi t)\,dt$ =${\frac {2}{2}}\int _{\frac {-1}{2}}^{\frac {2}{3}}x(t)sin(n\pi t)\,dt$ =$\int _{\frac {-1}{2}}^{\frac {1}{2}}2Atsin(n\pi t)\,dt+\int _{\frac {1}{2}}^{\frac {3}{2}}2A(1-t)sin(n\pi t)\,dt$

${\frac {8A}{n^{2}\pi ^{2}}}sin{\frac {n\pi }{2}}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\{\frac {8A}{n^{2}\pi ^{2}}},&{\mbox{ }}n{\mbox{=1,5,9,13...}}\\{\frac {-8A}{n^{2}\pi ^{2}}},&{\mbox{ }}n{\mbox{=3,7,11,15...}}\end{cases}}$

$x(t)={\frac {8A}{\pi ^{2}}}[sin\pi t-{\frac {1}{9}}sin3\pi t+{\frac {1}{25}}sin5\pi t-{\frac {1}{49}}sin7\pi t+...]$

利用$\pm sinkt=cos(kT\mp 90^{\circ })$

=${\frac {8A}{\pi ^{2}}}[cos(\pi t-90^{\circ })+{\frac {1}{9}}cos(3\pi t+90^{\circ })+{\frac {1}{25}}cos(5\pi t-90^{\circ })+{\frac {1}{49}}cos(7\pi t+90^{\circ })]$

单边频谱

注意：偶次谐波(harmonic)消失，只有奇次谐波存在。

图出处©G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

函数对称性的影响

假设$f(t)$为偶对称(even symmetrical)

$a_{0}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)\,dt={\frac {2}{T_{0}}}\int _{0}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)\,dt$

$a_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)cosn\omega _{0}t\,dt={\frac {4}{T_{0}}}\int _{0}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)cosn\omega _{0}t\,dt$

$b_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)sinn\omega _{0}t\,dt=0$

假设$f(t)$为奇对称(odd symmetrical)

$a_{0}={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)\,dt=0$

$a_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)cosn\omega _{0}t\,dt=0$

$b_{n}={\frac {2}{T_{0}}}\int _{\frac {-T_{0}}{2}}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)sinn\omega _{0}t\,dt={\frac {4}{T_{0}}}\int _{0}^{\frac {T_{0}}{2}}f(t)sinn\omega _{0}t\,dt$

假设$f(t)$为半波奇对称(half-wave odd symmetrical) ， 即

$f(t-{\frac {T_{0}}{2}})=-f(t)$

$\Rightarrow$所有偶次谐波皆为0

Note：以上两个范例均可视为半波奇对称或半波奇对称的变形。

Gibbs 现象

由前面范例知，周期方波$f(t)$的傅里叶级数如下：

$f(t)={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{\pi }}(cost-{\frac {1}{3}}cos3t+{\frac {1}{5}}cos5t-{\frac {1}{7}}+...)$

下图分别是取第1项(a) ，前2项之和(b) ，前3项之和(c) ，前4项之和(d)以及前11项之和(e)的图形：

图出处©B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

根据傅里叶级数的原理，取无穷多项的和〝应该〞和$f(t)$完全相等。

但上图可知：

(1) 波形中存在振荡(oscillatory)的现象。

(2) 在不连续点的两侧存在有大小约9%的越位(overshoot) 。

Gibbs证实： 即使取无穷多项的和，此一9%的越位现象仍存在，只是会非

常靠近不连续点。后人称为Gibbs现象(Gibbs phenomenon)