线性代数/矩阵的运算与变换

矩阵的性质

性质

假设 $A$、$B$ 和 $C$ 是三个矩阵，且 $k$、$l$ 是两个实数，则对于下列各式而言，只要矩阵的阶数能使等号的其中一边是有意义的，那么等号的另一边也有意义，且等号会成立。

加法交换律：$A+B=B+A$

加法结合律：$(A+B)+C=A+(B+C)$

系数积结合律：$r(sA)=(rs)A$

系数积分配律：$(k+l)A=kA+lA$

乘法结合律：$(AB)C=A(BC)$

左乘分配律：$A(B+C)=AB+AC$

右乘分配律：$(A+B)C=AB+BC$

左乘系数积结合律：$(rA)B=r(AB)$

右乘系数积结合律：$A(rB)=r(AB)$

注意到如果 $A$、$B$ 和 $C$ 都是 $n$ 阶方阵，则上面的式子都是有意义的。

证明

本书将上述性质的证明留给读者做练习，对于感到有困难的读者，可以将下面证明乘法结合律的证明做为示范来参照学习。

假设 $A$ 是一个 $m\times n$ 矩阵、$B$ 是一个 $n\times p$ 矩阵、$C$ 是一个 $p\times q$ 矩阵，则直接根据定义有

$((AB)C)_{ij}=\sum _{l=1}^{p}(AB)_{il}C_{lj}=\sum _{l=1}^{p}(\sum _{k=1}^{n}A_{ik}B_{kl})C_{lj}=\sum _{l=1}^{p}\sum _{k=1}^{n}(A_{ik}B_{kl}C_{lj})$

特殊方阵

零方阵

定义

$O_{n}=[0]_{n\times n}={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0\\0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &0\end{bmatrix}}$

是所以元素都是 0 的 $n$ 阶方阵，称为零方阵。使用符号 O 以及取名为零方阵是因为 $O_{n}$ 有如同实数 0 的性质：对所有 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $A+O_{n}=A$ 及 $AO_{n}=O_{n}A=O_{n}$。

单位方阵

定义

$I_{n}=[\delta _{ij}]_{n\times n}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}$

是所有对角线元素都是 1、非对角线元素都是 0 的 $n$ 阶方阵，其中定义式中的 $\delta _{ij}$ 是克罗内克δ函数，也就是

$\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{ if }}i=j\\0&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}$。

单位方阵使用符号 I 以及取名为零方阵是因为 $O_{n}$ 有如同实数 1 的性质：对所有 $n$ 阶方阵 $A$ 都有 $AI_{n}=I_{n}A=A$。

环性质

上述矩阵性质再加上零矩阵 $O_{n}$、单位矩阵 $I_{n}$ 使得包含所有 n 阶方阵的集合是一个可交换环。这些是抽象代数的内容，在此仅仅做一个引子，有兴趣的读者可以前往翻阅。

向量

在上一节中，方阵的重要性已被看到，本节将介绍线性代数经常研究的另一物件：向量。

中学数学中或都或少有讲到一些向量的定义以及性质，该处向量的定是在二维或三维空间中选取两点，分别做为起点和终点，记做 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2})$ 或 ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},x_{3})$。因此，在一般的 $n$ 维向被定义做 $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$，注意到后文将不在向量标记键号 ${\vec {}}$ ，因为后续会有更加抽象的物件也被视为向量。另外，一个 $n$ 维向量也被视为是一个 $n\times 1$ 的矩阵，也就是记做

$x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

因此，要特别注意，在本教科书中 $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ 和 ${\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$ 代表的是不同的矩阵，前者是 $n\times 1$ 矩阵，而后者是 $1\times n$ 矩阵。然而，有些教科书或论文会将前述二者混用、讹用，因此仍需注意前前后文以免产生误解。

回顾一次联主方程式与增广矩阵一节中，一个 n 元一次联立方程式有以下形式

$\left\{{\begin{aligned}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}&=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}&=b_{2}\\&\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}&=b_{m}\end{aligned}}\right.$

令

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{bmatrix}}$、$x={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$、$b={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}}$

分别是 $m\times n$ 矩阵、$n$ 维向量、$m$ 维向量，那么在本教科书的记号下，原本的一元 n 次联立方程式会被改写成解出

$Ax=b$

而$A$、$b$ 是已知数，$x$ 是未知数。要特别注意的是此时的增广矩阵是${\begin{bmatrix}A&b\end{bmatrix}}$，跟一次联主方程式与增广矩阵中的符号不要产生混淆了。

另一方面，一个 $m\times n$ 的矩阵$A$ 乘上一个$n$ 维向量 $x$ 会得到一个 $m$ 维向量 $y$ 满足 $y=Ax$，换句话说，一个矩阵可以被视为一个将向量映射到向量的函数，而在后面的章节中这个函数会成为定义线性变换以及向量空间的动机。