微分几何/弧长与弧长参数

我们知道直线段的长度怎么算： $L({\overline {AB}})=\vert (x_{A},y_{A},z_{A})-(x_{B},y_{B},z_{B})\vert ={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}$ 。因此我们可以用直线逼近的方式来定义曲线的弧长。

定义： 曲线 ${\boldsymbol {\alpha }}$ 在区间 $[a,b]\subset I$ 的弧长为 $L({\boldsymbol {\alpha }},[a,b])=\sup _{\lbrace t_{k}\rbrace _{n}}\sum _{k=1}^{n}\vert {\boldsymbol {\alpha }}(t_{k})-{\boldsymbol {\alpha }}(t_{k-1})\vert$ ，其中$\lbrace t_{k}\rbrace _{n}$为$[a,b]$的分割。若曲线可微，则我们可以得 $L({\boldsymbol {\alpha }},[a,b])=\int _{a}^{b}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert \,dt$ 。

若我们试着改变曲线参数，新参数 $u=u(t)$ 可微且严格递增，而 ${\boldsymbol {\alpha }}_{u}(u(t))={\boldsymbol {\alpha }}(t)$ ，我们对新的参数算弧长 $L({\boldsymbol {\alpha }}_{u},[u(a),u(b)])=\int _{u(a)}^{u(b)}\vert {\boldsymbol {\alpha }}_{u}^{\prime }\vert \,du=\int _{u(a)}^{u(b)}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }\vert \vert {\frac {dt}{du}}\vert \,du=\int _{u(a)}^{u(b)}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }\vert {\frac {dt}{du}}\,du=\int _{a}^{b}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }\vert \,dt=L({\boldsymbol {\alpha }},[a,b])$ 。由此我们发现，曲线线段的弧长跟所取得曲线参数无关。

由于上述结果，我们可以对任意正则曲线取弧长参数 $s(t)=\int _{t_{0}}^{t}\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert \,dt$ 。若我们将 $s$ 对 $t$ 微分 ${\frac {ds}{dt}}=\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert$ ，假如 $t$ 也为弧长参数，则我们发现$\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert ={\frac {ds}{dt}}=1$ ；反过来说若 $\vert {\boldsymbol {\alpha }}^{\prime }(t)\vert =1$ ，则 $t=s+t_{0}$ 是弧长参数，即是说弧长参数与切向量长度等于 1 是充分必要条件。由于此方便的特性，我们往后会常使用弧长参数来探讨曲线性质。