重力與軌道

公式與原理

m1和m2互相吸引

萬有引力公式

$F={\frac {Gm_{1}m_{2}}{r^{2}}}$

• G是萬有引力常數
• m1是物體1的質量
• m2是物體2的質量
• r是兩個物體之間的距離

圓周運動公式 $a={\frac {v^{2}}{r}}$

定義

1. $v={\frac {r_{2}-r_{1}}{\Delta t}}$ 速度=第二點的位置向量減第一點的位置向量/經過時間
2. $a={\frac {v_{2}-v_{1}}{\Delta t}}$ 加速度=第二點的速度減掉第一點的速度/經過時間
3. ${\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {a}}+{\overrightarrow {b}}$ 向量加法
4. ${\overrightarrow {c}}-{\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {b}}$ 向量減法

方向

左圖一 右圖二

• 由圖一，$v_{1}$必與$r_{1}$垂直，且是$r_{1}$順時鐘旋轉90度
• 由圖二，$a_{1}$必與$v_{1}$垂直，且是$v_{1}$順時鐘旋轉90度
• 所以，$a_{1}$必與$r_{1}$平行，且是$r_{1}$順時鐘180度

大小

• $a={\frac {v_{2}-v_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {v}}{\Delta {t}}}$，必須與$r_{1}$平行且是$r_{1}$順時鐘轉180度
• $v={\frac {r_{2}-r_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}$
• 求出 $a={\frac {v^{2}}{r}}$

證明：

1. 右方與左方三角形相似 ${\frac {\Delta {v}}{v}}={\frac {\Delta {r}}{r}}$ =>
2. 兩邊分母同乘 $\Delta {t}\quad {\frac {\Delta {v}}{v*\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{r*\Delta {t}}}$ =>
3. ${\frac {1}{v}}*{\frac {\Delta {v}}{\Delta {t}}}={\frac {1}{r}}*{\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}$ =>
4. ${\frac {1}{v}}*a={\frac {1}{r}}*v$ =>
5. $a={\frac {v^{2}}{r}}$

PhET遊戲介紹

PhET載點

• 遊戲名稱:地球科學/重力與軌道
• 可移動太陽、地球、月亮，觀察移動後會怎麼影響軌道
• 遊戲目標
  1. 描述太陽、地球、月亮、太空站的關係，包含軌道、距離及各自的位置
  2. 解釋萬有引力如何影響太陽系的移動

卡通圖(未按原比例圖)

• 軌道選項:
  1. 太陽、地球
  2. 太陽、地球、月亮
  3. 地球、月亮
  4. 地球、太空站
• 顯示選項:
  1. 重力
  2. 速度
  3. 路徑
  4. 格子
• 操作:
  1. 選好自己要的軌道
  2. 選好要顯示的東西
  3. 按下方藍色開始鍵

勾選重力及速度，開始後就會標示出$M1$的重力及切線速度、$M2$的重力及切線速度，再勾選路徑，就會畫出$M2$繞着$M1$的軌道。

此時若我們移動$M1$，就會發現$M2$的軌道會有改變，若$M1$靠近$M2$，$M2$的$v$縮小，不是圓周運動了，慢慢$M2$就會撞向$M1$。

若我們移動$M1$遠離$M2$，$M2$的$v$變大，這時也不再是圓周運動，$M2$就會慢慢遠離$M1$。