訊號與系統/系統脈衝響應

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Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 當前語言下顯示→通訊
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 當前語言下顯示→摺積
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 當前語言下顯示→數碼
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 當前語言下顯示→傅立葉
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P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 當前語言下顯示→P-N結
P-n junction：大陆：P-n结；香港：P-n結；臺灣：P-n接面； 當前語言下顯示→P-n結
p-n junction：大陆：p-n结；香港：p-n結；臺灣：p-n接面； 當前語言下顯示→p-n結
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Pn junction：大陆：Pn结；香港：Pn結；臺灣：Pn接面； 當前語言下顯示→Pn結
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Signal：臺灣：訊號；大陆：信号； 當前語言下顯示→訊號
Signal-to-noise ratio, SNR：臺灣：訊雜比；大陆：信噪比；香港：訊噪比； 當前語言下顯示→訊噪比
Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 當前語言下顯示→七號信令系統
Time-invariant system：大陆：时不变系统；臺灣：非時變系統； 當前語言下顯示→非時變系統
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PSK：臺灣：相位移鍵；大陆：移相键控； 當前語言下顯示→相位移鍵
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Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 當前語言下顯示→時分
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TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 當前語言下顯示→時分複用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 當前語言下顯示→頻分複用
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WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波分複用
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Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 當前語言下顯示→資訊理論
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原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
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原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
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原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元
原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→中值定理
原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

系統脈衝響應(System Impulse Response)

【定義】連續時間(continuous-time)線性非時變(LTI)系統的「單位脈衝響應 (unit impulse response)」 $\mathbf {h} (t)$ ︰

(1)系統的初始條件均為0

(2)在時間 $t=0$ 時，系統輸入單位脈衝函數 $\mathbf {\delta } (t)$ 所得的系統響應(輸出)稱為
           單位脈衝響應。一般均用符號 $h(t)$ 表示

線性非時變的特性

範例3.6

一LTI系統由底下微分方程表示 : $\mathbf {\tau } _{0}{dy(t) \over dt}+y(t)=x(t)$ 試求此系統之單位脈衝響應。

【解】當系統輸入 $\mathbf {x} (t)=\delta (t)$ 時，系統輸出 $\mathbf {y} (t)$ 即為系統之單位脈衝響應 $\mathbf {h} (t)$ 。

(1)當 $\mathbf {t} >0$ 時， $\mathbf {\delta } (t)=0$

$\mathbf {\Rightarrow } \tau _{0}{dh(t) \over dt}+h(t)=0$ $\mathbf {t} >0$

$\mathbf {h} (t)=Ae^{-{t \over \tau _{0}}}$ $t>0$

(2)當 $\mathbf {t} =0$  時，由單位脈衝響應的定義得知，初始條件為0

故 $\mathbf {h} (t)=0$ $\mathbf {t} <0$

(3)對所有 $\mathbf {t}$

$\mathbf {\tau } _{0}{dh(t) \over dt}+h(t)=\tau (t)$

觀察上式 : 等號右邊為一脈衝函數，等號左邊為 $\mathbf {h} (t)$ 與 $\mathbf {dh(t) \over dt}$ 。

由此可知 : $\mathbf {h} (t)$ 不含脈衝函數，(若 $\mathbf {h} (t)$ 含有脈衝函數，則等號左邊會有脈衝函數的微分，而等號右邊僅有脈衝函數，方程式左右不相等，不合)且 $\mathbf {h} (t)$ 的微分會產生脈衝函數(即 $\mathbf {h} (t)$ 在 $\mathbf {t} =0$ 的地方不連續)

(4)將(3)中的等式左右兩邊分別取積分，積分上下限為[ $0^{-}$ ， $0^{+}$ ]可得 :

$\int _{t=0^{-}}^{t=0^{+}}\tau _{0}{dh(t) \over dt}\,dt+\int _{t=0^{-}}^{t=0^{+}}h(t)\,dt=\int _{t=0^{-}}^{t=0^{+}}\delta (t)\,dt$

$\mathbf {\tau } [h(0^{+})-h(0^{-})]+0=1$

$\Rightarrow h(0^{+})={1 \over \tau _{0}}$

(5)將 $h(0^{+})={1 \over \tau _{0}}$ 作為初始條件，代入(1)的結果可得

$a={1 \over \tau _{0}}$

$\Rightarrow h(t)={1 \over \tau _{0}}e^{-{t \over \tau _{0}}}$ $t>0$

(6)系統的單位脈衝響應

$h(t)={\begin{cases}0,&{t>0}\\{1 \over \tau _{0}}e^{-{t \over \tau _{0}}},&t>0\end{cases}}$ $={1 \over \tau _{0}}e^{-{t \over \tau _{0}}}u(t)$

範例3.7

考慮如圖的RC電路。此電路的系統微分方程式即為上一例題之式子，其中 $\tau _{0}=RC$ 。考慮電阻與電容的物理特性來求系統的單位脈衝響應。

【解】

(1)在時間 $\mathbf {t} =0^{-}$ 時，電容未充電，電位差 $\mathbf {v} c(0^{-})=0$

(2)在 $\mathbf {t} =0$ 時輸電壓 $\mathbf {\delta } (t)$ ，故流經電阻的電流

$i(t)={\delta (t) \over R}$ $0^{-}\leq t\leq 0^{+}$

(3)此電流對電容的充電量為 $q(0^{+})=\int _{0^{-}}^{0^{+}}{\delta (t) \over R}\,dt={1 \over R}$

(4)電容兩端的電壓   $\mathbf {v} _{c}(0^{+})={1 \over RC}$

(5)對於 $t>0$ ，輸入電壓為 0，故電容所充的電量將經由電阻而放電。所以   $v_{c}(t)=Ae^{-{t \over RC}}$       $t>0$

(6)由(4)知 $v_{c}(0^{+})={1 \over RC}$ 代入(5)可得   $v_{c}(t)={1 \over RC}e^{-{t \over RC}}$     $t>0$

(7)故，系統的單位脈衝應為  $h(t)={1 \over RC}e^{-{t \over RC}}u(t)$ 觀察 : 範例3.6之微分方程式中，若 $\tau ={1 \over RC}$ ，則與本例相同。

範例3.8

求右圖LC電路的單位脈衝響應

【解】

(1)右圖LC電路的系統方程式為 :

$LC{d^{2}y(t) \over dt}+y(t)=x(t)$

(2)對於單位脈衝輸入，此LC電路的系統方程式可改寫為 :

$LC{d^{2}h(t) \over dt^{2}}+h(t)=\delta (t)$

(3)當 $\mathbf {t} >0$ 時

$LC{d^{2}h(t) \over dt^{2}}+h(t)=0$ $\Rightarrow h(t)=(A\cos \omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t)$

其中 $\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

(4)求 $\mathbf {d^{2}h(t) \over dt^{2}}$

${dh(t) \over dt}=(-A\omega _{0}\cos \omega _{0}t+B\omega _{0}\cos \omega _{0}t)u(t)+(A\cos \omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t)$

$\mathbf {=} -\omega _{0}(A\sin \omega _{0}t+B\cos \omega _{0}t)u(t)+A\delta (t)$

${d^{2}h(t) \over dt^{2}}=-\omega _{0}^{2}(A\cos \omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t)u(t)-\omega _{0}(A\sin \omega _{0}t-B\cos \omega _{0}t)\delta (t)+A{d\delta (t) \over dt}$

$=-\omega _{0}^{2}(A\cos \omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t)u(t)+\omega _{0}B\delta (t)+A{d\delta (t) \over dt}$

(5)將(2)(3)的結果代入(1)

$LC[-\omega _{0}^{2}(A\cos \omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t)u(t)+\omega _{0}B\delta (t)+A{d\delta (t) \over dt}]+(A\cos \omega _{0}t+B\sin \omega _{0}t)u(t)=\delta (t)$

因為 $\omega _{0}^{2}={1 \over LC}$

$\Rightarrow LC[\omega _{0}B\delta (t)+A{d\delta (t) \over dt}]=\delta (t)$

$\Rightarrow A=0$ $\mathbf {L} C\omega _{0}B=1$ $\Rightarrow B={1 \over {\sqrt {LC}}}=\omega _{0}$

(6)系統的單位脈衝響應 $\mathbf {h} (t)$ 為

$\mathbf {h} (t)=\omega _{0}\sin(\omega _{0}t)u(t)$