訊號與系統/由傅立葉級數到傅立葉轉換

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Communication：大陆：通信；臺灣：通訊； 當前語言下顯示→通訊
Convolution：大陆：卷积；臺灣：摺積； 當前語言下顯示→摺積
Digital：臺灣：數位；大陆：数字；香港：數碼； 當前語言下顯示→數碼
Fourier：大陆：傅里叶；臺灣：傅立葉； 當前語言下顯示→傅立葉
information：大陆：信息；臺灣：資訊； 當前語言下顯示→資訊
integrated circuit：大陆：集成电路；臺灣：積體電路；香港：集成電路； 當前語言下顯示→集成電路
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P-N junction：大陆：P-N结；香港：P-N結；臺灣：P-N接面； 當前語言下顯示→P-N結
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Signaling System Number 7：大陆：七号信令系统；臺灣：第七號發信系統；香港：七號信令系統； 當前語言下顯示→七號信令系統
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Video：大陆：视频；臺灣：視訊；香港：影片； 當前語言下顯示→影片
modulation：大陆：调制；香港：調制；臺灣：調變； 當前語言下顯示→調制
vestigial sideband：大陆：残余边带；臺灣：殘邊帶； 當前語言下顯示→殘邊帶
amplitude：大陆：幅度；臺灣：振幅； 當前語言下顯示→振幅
PSK：臺灣：相位移鍵；大陆：移相键控； 當前語言下顯示→相位移鍵
Mobile communication：臺灣：行動通訊；大陆：移动通信；香港：流動通訊； 當前語言下顯示→流動通訊
Time division：香港：時分；大陆：时分；臺灣：分時； 當前語言下顯示→時分
Frequency division：香港：頻分；大陆：频分；臺灣：分頻； 當前語言下顯示→頻分
Code division：香港：碼分；大陆：码分；臺灣：分碼； 當前語言下顯示→碼分
TDMA：香港：時分多址；大陆：时分多址；臺灣：分時多重進接； 當前語言下顯示→時分多址
FDMA：香港：頻分多址；大陆：频分多址；臺灣：分頻多重進接； 當前語言下顯示→頻分多址
CDMA：香港：碼分多址；大陆：码分多址；臺灣：分碼多重進接； 當前語言下顯示→碼分多址
SDMA：香港：空分多址；大陆：空分多址；臺灣：分空間多重進接； 當前語言下顯示→空分多址
TDM：香港：時分複用；大陆：时分复用；臺灣：分時多工； 當前語言下顯示→時分複用
FDM：香港：頻分複用；大陆：频分复用；臺灣：分頻多工； 當前語言下顯示→頻分複用
SDM：香港：空分複用；大陆：空分复用；臺灣：空間多工； 當前語言下顯示→空分複用
WDM：香港：波分複用；大陆：波分复用；臺灣：波長分波多工； 當前語言下顯示→波分複用
iDEN：臺灣：整合數位強化網路；大陆：集成数字增强网络； 當前語言下顯示→整合數位強化網路
GPRS：臺灣：通用封包無線服務；大陆：通用分组无线服务； 當前語言下顯示→通用封包無線服務
spread-spectrum：大陆：扩频；臺灣：展頻； 當前語言下顯示→展頻
spread-spectrum：大陆：扩谱；臺灣：展譜； 當前語言下顯示→展譜
Packet：臺灣：封包；大陆：分组； 當前語言下顯示→封包
Cellular data：臺灣：蜂巢式資料；大陆：蜂窝数据；香港：蜂巢式數據； 當前語言下顯示→蜂巢式數據
Cellular network：臺灣：蜂巢式網路；大陆：蜂窝网络；香港：蜂巢式網絡； 當前語言下顯示→蜂巢式網絡
Bit：臺灣：位元；大陆：比特； 當前語言下顯示→位元
Slot：臺灣：時槽；大陆：时隙； 當前語言下顯示→時槽
error correcting code：大陆：纠错码；臺灣：錯誤更正碼；香港：除錯碼； 當前語言下顯示→除錯碼
Information theory：繁體：消息理論；简体：信息论； 當前語言下顯示→消息理論
Information theory：臺灣：資訊理論；大陆：信息论； 當前語言下顯示→資訊理論
Sampling Theorem：臺灣：取樣定理；大陆：采样定理； 當前語言下顯示→取樣定理
Shannon：大陆：香农；臺灣：夏農；香港：山農； 當前語言下顯示→山農
Analog Broadcasting：大陆：模拟广播；臺灣：類比廣播；香港：模擬廣播； 當前語言下顯示→模擬廣播
Analog Television：大陆：模拟电视；臺灣：類比電視；香港：模擬電視； 當前語言下顯示→模擬電視
Definition：大陆：清晰度；臺灣：解析度；香港：清晰度； 當前語言下顯示→清晰度
Digital Broadcasting：大陆：数字广播；香港：數碼廣播；臺灣：數位廣播;zh-mo:數字廣播； 當前語言下顯示→數碼廣播
Digital Television：大陆：数字电视；臺灣：數位電視；香港：數碼電視;zh-mo:數字電視； 當前語言下顯示→數碼電視;zh-mo:數字電視
DVB-H：大陆：手持地面无线；臺灣：手持式數位視訊廣播；香港：手持式數碼視訊廣播； 當前語言下顯示→手持式數碼視訊廣播
External：大陆：外置；香港：外置；臺灣：外接； 當前語言下顯示→外置
Set-top box：简体：机顶盒；繁體：數碼電視解碼器；香港：機頂盒；臺灣：數位電視機上盒；大陆：机顶盒;zh-mo:機頂盒； 當前語言下顯示→機頂盒
USB Digital TV tuner：大陆：USB数字电视棒；香港：高清USB手指；臺灣：USB數位電視棒； 當前語言下顯示→高清USB手指
USB TV Tuner：大陆：USB电视棒；香港：USB電視手指；臺灣：USB電視棒； 當前語言下顯示→USB電視手指
diversity：大陆：分集；臺灣：多樣； 當前語言下顯示→多樣
Call forwarding：大陆：呼叫转移；臺灣：來電轉駁； 當前語言下顯示→來電轉駁
Information Technology：大陆：信息技术；臺灣：資訊科技； 當前語言下顯示→資訊科技
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China Telecom：简体：中国电信；繁體：中國電信； 當前語言下顯示→中國電信
Frame：大陆：帧；臺灣：訊框； 當前語言下顯示→訊框

臺灣：方向導數；大陆：方向导数； 當前用字模式下顯示為→方向導數
臺灣：積分形式；大陆：积分形式； 當前用字模式下顯示為→積分形式
臺灣：微分形式；大陆：微分形式； 當前用字模式下顯示為→微分形式
臺灣：約束；大陆：约束； 當前用字模式下顯示為→約束
原始語言：Borel；臺灣：鮑萊耳；大陆：博雷尔； 當前用字模式下顯示為→鮑萊耳
原始語言：Christoffel；臺灣：克里斯多福；大陆：克里斯托费尔； 當前用字模式下顯示為→克里斯多福
原始語言：Clifford；臺灣：克里福；大陆：克利福德； 當前用字模式下顯示為→克里福
原始語言：Eratosthenes；大陆：埃拉托斯特尼；臺灣：埃拉托斯特尼；香港：愛拉托散尼； 當前用字模式下顯示為→愛拉托散尼
原始語言：Fourier；臺灣：傅立葉；大陆：傅里叶； 當前用字模式下顯示為→傅立葉
原始語言：Frobenius；臺灣：弗比尼斯；大陆：弗罗贝尼乌斯； 當前用字模式下顯示為→弗比尼斯
原始語言：Hausdorff；臺灣：郝斯多夫；大陆：豪斯多夫； 當前用字模式下顯示為→郝斯多夫
原始語言：Levi-Civita；臺灣：勒維奇維塔；大陆：列维-奇维塔； 當前用字模式下顯示為→勒維奇維塔
原始語言：L'Hôpital；臺灣：羅必達；香港：洛必達；大陆：洛必达； 當前用字模式下顯示為→洛必達
原始語言：Markov；臺灣：馬可夫；大陆：马尔可夫； 當前用字模式下顯示為→馬可夫
原始語言：Poisson；臺灣：卜瓦松；大陆：泊松； 當前用字模式下顯示為→卜瓦松
原始語言：Legendre；臺灣：勒壤得；大陆：勒让德； 當前用字模式下顯示為→勒壤得
原始語言：Schwartz；臺灣：施瓦次；大陆：施瓦兹； 當前用字模式下顯示為→施瓦次
原始語言：Aleph；臺灣：艾禮富；大陆：阿列夫； 當前用字模式下顯示為→艾禮富
原始語言：Aleph number；臺灣：艾禮富數；大陆：阿列夫数； 當前用字模式下顯示為→艾禮富數
原始語言：Algebraic dependence；臺灣：代數相依；大陆：代数相关； 當前用字模式下顯示為→代數相依
原始語言：Algebraic independence；臺灣：代數獨立；大陆：代数无关； 當前用字模式下顯示為→代數獨立
原始語言：Algebraically closed field；臺灣：代數閉體；大陆：代数闭域； 當前用字模式下顯示為→代數閉體
原始語言：Automorphic form；臺灣：自守式；大陆：自守形式； 當前用字模式下顯示為→自守式
原始語言：Bijection；臺灣：對射；大陆：双射； 當前用字模式下顯示為→對射
原始語言：Bundle；臺灣：束；大陆：丛； 當前用字模式下顯示為→束
原始語言：Central limit theorem；臺灣：中央極限定理；大陆：中心极限定理； 當前用字模式下顯示為→中央極限定理
原始語言：Classical group；臺灣：古典群；大陆：典型群； 當前用字模式下顯示為→古典群
原始語言：Closed graph theorem；臺灣：閉圖定理；大陆：闭图像定理； 當前用字模式下顯示為→閉圖定理
原始語言：Cohomology；臺灣：餘調；大陆：上同调； 當前用字模式下顯示為→餘調
原始語言：Complex plane；臺灣：複數平面；大陆：复平面； 當前用字模式下顯示為→複數平面
原始語言：Complex exponential；臺灣：複指數；大陆：复指数； 當前用字模式下顯示為→複指數
原始語言：Complex structure；臺灣：複結構；大陆：复结构； 當前用字模式下顯示為→複結構
原始語言：Coprime；臺灣：互質；大陆：互素； 當前用字模式下顯示為→互質
原始語言：Covariance；大陆：协方差；臺灣：共變異數； 當前用字模式下顯示為→共變異數
原始語言：Cyclotomic field；臺灣：分圓體；大陆：分圆域； 當前用字模式下顯示為→分圓體
原始語言：Derived algebra；臺灣：導來代數；大陆：导出代数； 當前用字模式下顯示為→導來代數
原始語言：Derived functor；臺灣：導來函子；大陆：导出函子； 當前用字模式下顯示為→導來函子
原始語言：Derived set；臺灣：導來集；大陆：导集； 當前用字模式下顯示為→導來集
原始語言：Dominated convergence theorem；臺灣：受制收斂定理；大陆：控制收敛定理； 當前用字模式下顯示為→受制收斂定理
原始語言：Eigenfunction；臺灣：固有函數；大陆：本征函数； 當前用字模式下顯示為→固有函數
原始語言：Extension field；臺灣：擴張體；大陆：扩张域； 當前用字模式下顯示為→擴張體
原始語言：Fibonacci sequence；臺灣：費氏數列；大陆：斐波那契数列； 當前用字模式下顯示為→費氏數列
原始語言：Field extension；臺灣：體擴張；大陆：域扩张； 當前用字模式下顯示為→體擴張
原始語言：Field theory；臺灣：體論；大陆：域论； 當前用字模式下顯示為→體論
原始語言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 當前用字模式下顯示為→有限體
原始語言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 當前用字模式下顯示為→碎形
原始語言：Global field；臺灣：大域體；大陆：整体域； 當前用字模式下顯示為→大域體
原始語言：Linear dependence；臺灣：線性相依；大陆：线性相关； 當前用字模式下顯示為→線性相依
原始語言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 當前用字模式下顯示為→線性獨立
原始語言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 當前用字模式下顯示為→局部體
原始語言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 當前用字模式下顯示為→單位元
原始語言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 當前用字模式下顯示為→反元素
原始語言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 當前用字模式下顯示為→最小平方
原始語言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 當前用字模式下顯示為→馬可夫鏈
原始語言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 當前用字模式下顯示為→中值定理
原始語言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 當前用字模式下顯示為→數體
原始語言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 當前用字模式下顯示為→範數
原始語言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 當前用字模式下顯示為→賦範
原始語言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 當前用字模式下顯示為→有序體
原始語言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 當前用字模式下顯示為→正交補餘
原始語言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 當前用字模式下顯示為→最佳化
原始語言：Path connected；臺灣：路徑連通；大陆：道路连通； 當前用字模式下顯示為→路徑連通
原始語言：Prime ideal；臺灣：質理想；大陆：素理想； 當前用字模式下顯示為→質理想
原始語言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 當前用字模式下顯示為→質數
原始語言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 當前用字模式下顯示為→質環
原始語言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 當前用字模式下顯示為→機率
原始語言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 當前用字模式下顯示為→二次體
原始語言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 當前用字模式下顯示為→實數軸
原始語言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 當前用字模式下顯示為→實閉體
原始語言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 當前用字模式下顯示為→遞迴
原始語言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 當前用字模式下顯示為→遞迴關係
原始語言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 當前用字模式下顯示為→純量
原始語言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 當前用字模式下顯示為→純量曲率
原始語言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 當前用字模式下顯示為→和式號
原始語言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 當前用字模式下顯示為→單純群
原始語言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 當前用字模式下顯示為→單純李氏群
原始語言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 當前用字模式下顯示為→單體
原始語言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 當前用字模式下顯示為→單體複形
原始語言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 當前用字模式下顯示為→奇異點
原始語言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 當前用字模式下顯示為→分裂體
原始語言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 當前用字模式下顯示為→子體
原始語言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 當前用字模式下顯示為→切線束
原始語言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 當前用字模式下顯示為→均勻有界原理
原始語言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 當前用字模式下顯示為→均勻連續
原始語言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 當前用字模式下顯示為→均勻收斂
原始語言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 當前用字模式下顯示為→均勻範數
原始語言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 當前用字模式下顯示為→均勻空間
原始語言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 當前用字模式下顯示為→聯集
原始語言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 當前用字模式下顯示為→么正空間
原始語言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 當前用字模式下顯示為→么正群
原始語言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 當前用字模式下顯示為→么正矩陣
原始語言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 當前用字模式下顯示為→變異數
原始語言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 當前用字模式下顯示為→貝氏定理

週期訊號與非週期訊號

傅立葉級數表示式 $\phi _{T0}$ (t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{jnw_{0}t}$

代表一週期為 $\mathrm {T} _{0}$ 之週期訊號，其中 $w_{0}={\frac {2\pi }{T_{0}}}$ 。

當 $x(t)$ 為一週期訊號，基本週期為 $\mathrm {T} _{0}$ ，則 $x(t)$ 可表示成傅立葉級數，即 : $x(t)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{jnw_{0}t}$ 所有 t

當 $x(t)$ 為非週期訊號時，傅立葉級數表示式 $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)只能表示 $t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]範圍內之 $x(t)$ ，即 :

$x(t)$ = $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

$x(t)$ $\neq$ $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

$t\not \in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

非週期訊號與傅立葉級數之關係

                       © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖可知 :

$x(t)$ = $\phi$ $_{T}$ $_{1}$ (t)

$t\in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

$x(t)$ $\neq$ $\phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

$t\not \in [{\frac {-T_{0}}{2}}$ ， ${\frac {T_{0}}{2}}$ ]

               $\Rightarrow$  $x(t)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }x(t)=\phi$  $_{T}$  $_{0}$ (t)             所有t

週期訊號的線頻譜

一週期訊號

            $\phi$  $_{T}$  $_{0}$ (t)= $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$

         其中 $f_{0}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$

雙邊頻譜

                              © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

由上圖知，頻譜為離散型，間隔 $f_{0}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$ 。當 $T_{0}$ 增大時， $f_{0}$ 會變小，故間隔會縮小。

頻率與角頻率

所謂的頻域，有人喜歡用頻率f，單位為 $\mathrm {H} \mathrm {Z}$ ；有人喜歡用角頻率 $\omega$ ，單位為 ${\frac {rad}{sec}}$ 苦命的我們只好兩種都學囉!

$\omega$ 與f之關係為 : $\omega$ =2 $\pi$ f。

在第四章中，所有公式都以 $\omega$ 為主，因為只要用 $\omega$ =2 $\pi$ f即可容易的轉換成f；在本章中，必要時我們將兩種公式並列，讓同學清楚其差異處!

非週期訊號的頻域特性

非週期訊號

           $x(t)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\phi$  $_{T}$  $_{0}$ (t)= $\lim _{T_{0}\to \infty }$  $\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$ 
          $\rightarrow$ 其中 $\mathrm {X} _{n}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$  $\int _{T_{0}}^{}x(t)$  $e^{-j2n\pi f_{0}t}\,dt$

我們知道週期訊號的頻譜為離散型線頻譜；而非週期訊號必須取 $T_{0}$ $\rightarrow$ $\infty$ $\Rightarrow$ $f_{0}$ $\rightarrow$ 0，故變成連續型頻譜。又

$\lim _{T_{0}\to \infty }$ $\mid \mathrm {X} _{n}\mid$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }$ $\mid {\frac {1}{T_{0}}}$ $\int _{T_{0}}^{}x(t)$ $e^{-j2n\pi f_{0}t}\,dt\mid$ $\leq \lim _{T_{0}\to \infty }$ ${\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid \mathrm {X} (t)\mid dt\rightarrow$ 0

週期訊號的連續型頻譜

-連續型頻譜 $\mathrm {X} _{R}(f)$ 可表示成：

           $\mathrm {X} _{R}(f)$ = $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid e[j\angle \mathrm {X} _{R}(f)]$

           其中 $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$ 為連續型振幅密度頻譜
              $\angle \mathrm {X} _{R}(f)$ 為連續型相位頻譜

連續型振幅(密度)頻譜

$\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$ rect[(f-n $\triangle f$ )] / $\triangle f$ 其中 $\triangle f\equiv f_{0}$ = ${\frac {1}{T_{0}}}$

                         © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

連續型振幅(密度)頻譜(續)

            $\mid \mathrm {X} _{R}(f)\mid$ 為一連續型函數。
          因為採用 ${\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$ ，故稱為振幅密度函數。
          $\lim _{T_{0}\to \infty }{\frac {\mid X_{n}\mid }{\triangle f}}$ 不會趨近於0(已知 $\lim _{T_{0}\to \infty }{\mid X_{n}\mid }\rightarrow$ 0)。

連續型相位頻譜

$\angle \mathrm {X} _{R}(f)$ = $\sum _{n=-\infty }^{\infty }\angle \mathrm {X} _{n}$ rect[(f-n $\triangle f$ ) / $\triangle f]$

                           © G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

非週期訊號頻譜

由於 $x(t)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\Phi$ $_{T}$ $_{0}$ (t)

              故可定義非週期訊號的密度頻譜為 $\mathrm {X} _{(}f)\equiv \lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {X} _{R}(f)$

當 $f=n\triangle f$ 時 $\mathrm {X} (n\triangle f)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {X} _{R}(n\triangle f)$

         其中 $\mid \mathrm {X} _{R}(n\triangle f)\mid$ = $\mid \mathrm {X} _{n}\mid$  /  $\triangle f$ = $\mathrm {T} _{0}\mid \mathrm {X} _{n}\mid$ 
                 $\angle \mathrm {X} _{R}(n\triangle f)$ = $\angle \mathrm {X} _{n}$ 
           故 $\mathrm {X} (n\triangle f)$ = $\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {T} _{0}\mid \mathrm {X} _{n}\mid e(j\angle \mathrm {X} _{n})$ 
         = $\lim _{T_{0}\to \infty }\mathrm {T} _{0}\mathrm {X} _{n}$ 
         = $\lim _{T_{0}\to \infty }$  $\int _{-{\frac {T_{0}}{2}}}^{\frac {T_{0}}{2}}e^{-j2n\pi \triangle ft}\ dt$

非週期訊號頻譜(續)

$\mathrm {T} _{0}\to \infty \Rightarrow \Delta f\to 0$ 故對於任意頻率 $f$ 均可找到一無窮大整數 $n$ 使得 $f=n\Delta f$ 令任意頻率 $f=n\Delta f$ 代入上式可得 $\Rightarrow \mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (t)e^{-j2\pi ft}\,dt$ 我們稱 $\mathrm {X} (f)$ 為非週期訊號 $\mathrm {X} (t)$ 的傅立葉轉換(Fourier transform)

                  $\mid \mathrm {X} (f)\mid$  為雙邊振幅(密度)頻譜(double-sided amplitude (density) spectrum) 
                   $\angle \mathrm {X} (f)$  為雙邊相位頻譜(double-sided  phase spectrum)

傅立葉逆轉換(inverse Fourier transform)

由 $\mathrm {X} _{R}(f)$ 的定義知： $\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)$ = ${\frac {\mid \mathrm {X} _{n}\mid }{\Delta f}}exp(j\angle \mathrm {X} _{n})$ $\Rightarrow (\Delta f)\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)=\mathrm {X} _{n}$ $\phi _{T0}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{n}e^{j2n\pi f_{0}t}$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)e^{j2n\pi \Delta ft}\Delta f$

$\mathrm {X} (t)=\lim _{T_{0}\to \infty }\phi _{T0}(t)=\lim _{T_{0}\to \infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{R}(n\Delta f)e^{j2n\pi \Delta ft}\Delta f$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df$

傅立葉轉換公式(使用f)

$\mathrm {X} (f)=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j2\pi ft}\,dt\equiv \Im {\begin{Bmatrix}\chi (t)\end{Bmatrix}}$

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df\equiv \Im ^{-1}{\begin{Bmatrix}\mathrm {X} (f)\end{Bmatrix}}$ 一般使用 $\chi (t)\leftrightarrow \mathrm {X} (f)$ 來表示 $\chi (t)$ 的傅立葉轉換為 $\mathrm {X} (f)$ ，而 $\mathrm {X} (f)$ 的傅立葉逆轉換為 $\chi (t)$ 。

傅立葉轉換公式(使用 $\omega$ )

用角頻率 $\omega$ )的公式 $\chi (t)$ 的傅立葉轉換 $\mathrm {X} _{\omega }(\omega )\equiv \int _{-\infty }^{\infty }\chi (t)e^{-j\omega t}\,dt=\mathrm {X} ({\frac {\omega }{2\pi }})$

$\chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} (f)e^{j2\pi ft}\,df$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} {\frac {\omega }{2\pi }}e^{j\omega t}\,d{\frac {\omega }{2\pi }}$

$={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {X} _{\omega }(\omega )e^{j\omega t}\,d(\omega )$