綜合數學/本書常用公式

初等代數

1. $a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}\right)$
2. 二項式定理：

$\left(a+b\right)^{n}=\sum _{k=1}^{n}{\textrm {C}}_{n}^{k}a^{k}b^{n-k}$

3.  平均值不等式（$a_{k}>0$；$k=1,2,\cdots ,n$）：

${\sqrt[{n}]{\prod _{k=1}^{n}a_{k}}}\leqslant {\frac {1}{n}}\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)$

4.  二次方程$ax^{2}+bx+c=0$：

判別式：

$\Delta =b^{2}-4ac{\begin{cases}>0,&{\mbox{两 互 异 实 根 }}\\=0,&{\mbox{两 相 等 实 根 }}\\<0,&{\mbox{两 共 轭 复 根 }}\end{cases}}$

求根公式：

$x_{1,2}={\frac {1}{2a}}\left(-b\pm {\sqrt {\Delta }}\right)$

5.  數列和：

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n\left(n+1\right)$

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {1}{6}}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)$

等差數列前$n$項和：

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}\left(a+\left(k-1\right)d\right)={\frac {1}{2}}n\left(2a+\left(n-1\right)d\right)$

等比數列前$n$項和：

$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}aq^{n-1}={\frac {a\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}$

6.  指數運算：

$\prod _{k=1}^{n}a^{m_{k}}=a^{\sum _{k=1}^{n}m_{k}}$