歐基里德幾何/命題1.1

以給定線段為一邊可作等邊三角形

設 AB 為給定線段,要求作等邊三角形 ABC

命題1.1圖

以 A 為圓心,AB 為半徑作圓 BCD;並以 B 為圓心,BA 為半徑作圓 ACE,兩圓交於 C (公設 3)

連接 CA、CB

因為 A 是 BCD 的圓心,所以 AC 等於 AB (定義 15)

同時 B 也是 ACE 的圓心,所以 BC 等於 BA (定義 15)

已經證明了 AC 等於 AB,所以 AC 等於 BC (公理 1)

所以三條線段 AB、BC、CA 全部相等

所以 ABC 是以 AB 為一邊所作得的等邊三角形

作畢.