數理邏輯/形式與符號
形式
從眾多具體現象中抽象出的具有某種同樣性質的模式，稱為形式。比如老鼠會打洞可以模板化為老鼠 會 打洞，同時將具體對象和謂詞抽象化，形式化為 ， 是一個動物， 為一個動作， 為一個謂詞。當然也可以進一步形式化為 （ 是不同的名詞， 是一個動詞 ）乃至進一步為 （ 各為一個不同的詞）。
老鼠會打洞（實例）→老鼠 會 打洞（模板）→動物名詞 謂詞 行為名字（形式）→名詞 謂詞 名詞（形式）→詞 詞 詞（形式）
從左往右，距離實例越來越遠。直觀的來看，越右的形式能創建的實例越多。
從形式反過來到實例的過程則稱為實例化，顯然，「動物名詞 謂詞 行為名字」形式除了可實例化老鼠會打洞。也可實例化為貓會吃老鼠或老鼠會吃貓。這是形式化的一個主要用處，假如一個形式可以反映一個對象的某些特性，則只要定義或推演這個形式的特性或屬性，就等同於定義或推演了這個形式下所有可能實例的屬性。這樣，我們可以定義一套形式化程度恰到好處的公理或規則，然後將現實世界的某些事物或現象「掛靠」或稱形式化到形式上，這樣就獲得形式的正確性。
過程：
提前定義形式1→形式1具有性質1→發現實例1→發現實例1可以形式化為形式1→實例1具有性質1
變量
一個對象是。。。隨便什麼東西，只要是思想可以生成的，比如「可惡的老鼠」或「爬過一條下水道」。對象一般受到一組定義的規則限制，從而縮減了其範圍。比如規則「禁止前兩個字是「可惡的」」就使這個對象排除了「可惡的老鼠」這一可能的選擇。
一個變量包含一個對象和對這個對象的限制規則，一般用英文小寫字母表示。形如： （ 是一個自然數）.顯然，這個變量可以包含1，2,3,4,5….以內所有的數字。將一個變量實例化的過程稱為賦值。如 .代表之後 表示數字1。而一個 的賦值將導致邏輯錯誤。因為規則是先於賦值定義的。
命題變量是一個變量與並且這個變量只能是命題（規則）。
命題變量里的命題限制是比較鬆散的，可以允許 是 一類的形式。其中 和 都是可以增加任意多形容詞（乃至定語從句，只要是形容詞性的部分）的名詞。如小灰狗 是 小的灰色的長有牙齒的犬科動物，這種動物是人類的朋友。又比如，自然數的基數小於實數。
命題變量有一個真值，換句話說，命題變量有一個屬性，那個屬性可以是「真」或「假」，也可以是「未定義」。這個屬性是命題邏輯賦予變量的（即變量本身沒有這個性質，只是在命題邏輯系統中被附加了這個性質），這類變量在更高級的一階邏輯有類似但不相同的使用方式。
有時我們需要表示兩個命題實際上是一個命題，或兩個變量應是一個變量。這可以有很多表示方法，比如a,b (a=b)或像命題邏輯做得那樣。應是同一個變量的位置使用同一個字母表示，相應的，不同變量之間嚴禁使用同樣的字母表示。
雖然並不明顯，但我們自然語言中的大多數部分都可以用 是 句型表示，也就是說，大多數自然語言中出現的命題都可以以命題邏輯方式形式化。比如扶老太太過馬路是好的可形式化為a，金胖子是會被撐死的人形式化為a，飛機是飛機形式化為 。當然，它們只能在不同的論證中被形式化為同一個符號。但在特別指定一個實例前， 可以實例化為其中任意一個命題。
這看起來很無聊，因為符號 並沒有任何性質，可以讓我們將實例「掛靠」到（形式化為） 上後推出任何關於 的「新」信息（嚴格的說，演繹推理不會產生任何新信息，因為信息在指定公理和實例後就應該「自動得到」了。但這一點並不明顯，比如你並不能總那麼容易的做出幾何證明題，雖然那些題在無限窮舉下總是可以被做出的）。
推理
現在我們來考慮命題之間的交互。假設有這麼一個問題「我是男人或是女人 我不是女人 是否可以推出我是男人」？
答案是「可以推出」，這樣一類陳述稱為複合命題。至於它怎麼形式化來獲得對「可以推出」這一答案的正確性的證明，馬上就可以見到。現在先以一般的方式推理這個問題，假如你覺得這個問題太簡單，明顯了。那麼令人高興的，命題邏輯就是建立在這些顯而易見正確的思維之上，在此之外，命題邏輯排除了一些人類思維中含糊的地方，並使大規模的推理（以以上語句組成，但長度翻一百倍的陳述。人類通常能直達問題命門的感覺性的思維毫無用途，只能依賴命題邏輯的一種機械計算。）
根據自然語言的定義，「我是男人或是女人」可以轉化為「我是男人或我是女人」，「我不是女人」可以轉化為「我是女人，這一命題為假」。現在開始形式化，顯然以上語句都可以形式化為 是 形式，令 為命題「我是男人」，令d為命題「我是女人」。
現在有兩個命題 和 分別代表不同的意思。我們得有一種方式表示「我是男人或我是女人」，我們使用符號 ，轉為「 」。 「 」也可表示為另一個命題 ，對於這一點，只需構建「變量命題 是「我是男人或是女人」這一命題（定語從句）」即可。不過直觀的來看，這麼做除了減少了信息毫無意義，不過注意到這一點有助於加深對複合命題的理解，這種方法在推理算法中也有應用。由於可以表示為另一個命題，所以「 」也有一個真值（這一過程可以複習形式化的用途，我們將「 」形式化為命題，然後根據命題邏輯對命題的定義，「 」這一命題的實例有一個真值。）。更一般化的，所有經「 」之類的符號計算的複合命題都可以視為另一命題並擁有真值。而「 」之類的符號就是將參數（如符號左右兩邊的命題）的真值經過計算後得到一個新命題的新真值，並通過一系列這樣的複合表示一整個陳述。
對於任何類似「我是男人或女人」，「我是女人，這一命題為假」的語言，我們稱為為條件，所有條件都是真的。這就是說「 」的真值為真。可像「我是女人，這一命題為假」這種語句中就表示這一命題為假的語句應該怎麼表示呢？只要令「命題為假」這一斷言為真即可。換句話說，假設a表示命題「我是人」，而且這是一個條件。則 的真值為真。而「我不是人」=「我是人，這一命題為假」這一命題可以先用某種符號將其表示為「 命題為假」，那自然「 命題為假」為真就代表 命題本身為假了。使命題從直接的含義轉為對直接的含義的否定的符號是 ，如 表示「我是人」，則 表示「我是人，這一命題為假」即「我不是人」。注意「這一命題為假」這種用法並不一定必然可以轉化為「我不是人」這種「自然的」表述。可以是「「我不是人，這一命題為假」這一命題為假」之類的句子。其中根據日常語法的定義，這種雙重否定句將導致肯定，邏輯中有一條類似的規則 ，這裏暫不詳述。
現在，我們有兩個斷言， 與 。我們想知道它是不是能推出命題 （這種符號單獨出現時代表這一命題為真，在這裏代表「我是男人」或稱「我是男人，這一命題為真」）。為此，我們形式化的定義 和 的意思，以符合我們推理的直覺。前面已經提到過， 是讓一個命題附加一個「該命題為假」陳述的方式。更一般化的， 也可使一個為假的命題變為真，用之前提到過的雙重否定規則。所以可以這麼說， 符號使一個真命題變為假命題，使一個假命題（根據定義，符號單獨出現時不可能，但當做複合命題時可能）變為真命題。我們使用所謂的真值表表示：
真值表是複合命題的新命題的新真值的一種表現方式，它遍歷所有可能的參數賦值並標出對應情況的新命題的新真值。 表示true，即 當時的真值為true時， 表示false，即 當時的真值為假。易見這確實覆蓋了所有的情況。
F
邏輯方程
為了加深理解，我們可以將「 」，「 」之類的符號稱為邏輯運算符，他們本身可以視為一個函數。如 ， 。事實上在一些程式語言里就是這樣做的， 原形 只是一種「語法便利」，是等價的。之後我們會更有意義的使用運算符是一種函數的這種概念。
現在我們提前涉及一下「邏輯方程」這種概念，正式定義中並不存在這個概念，不過我覺得這使邏輯推理的某些部分變得容易理解。然而比較糟的是，「方程」自己的含義卻有些含糊，我們可以把它當做日常的方程來考慮。即給出幾個條件去限制另一個條件，會產生一個或幾個令「等式」成立的「解」。這裏我們看看 是否是原陳述的一個解。
在此之前，再加入一個運算符 符號表示and，並，而且之類的意思。真值表為
F
可以自己測試一下，會發現正像自然語言的里的意思。
列出形式：
查詢真值表，發現 僅當 和 都為真時才會出現。所以這裏 都為真，這就反映了條件的性質（都為真）。
然後，由 為真得到 為假，然後將這個 的真值代入到 的 中，又由 真值表中當其為真且其中一項為假，則另一項為真的「性質」（可以看得出來的）。得到 為 ，從而，我們證明了 。