代數/本書課文/方程與不等式

不等式

不等式的概念

實數大小的比較

我們知道，對於兩個確定的實數 $a$ 與 $b$ 之間，總存在，並且只存在下列數量關係的一種：

1. $a$ 大於 $b$ ，記作 $a>b$；
2. $a$ 小於 $b$ ，記作 $a<b$；
3. $a$ 等於 $b$ ，記作 $a=b$。

我們還知道，要比較兩個實數 $a$ 與 $b$ 的大小，只要考察它們的差就可以了，即：

如果 $a-b$ 是正數，那麼 $a>b$，如果 $a-b$ 是負數，那麼 $a<b$，如果 $a-b$ 差為零，那麼 $a=b$；

反過來，如果 $a>b$，那麼 $a-b$ 是正數，如果 $a<b$ 那麼 $a-b$ 是負數，如果 $a=b$，那麼 $a-b$ 差為零。

用式子來表示，就是：

設 $a$、$b$ 為兩實數，

如果 $a-b={\begin{cases}>0,\\<0,\\=0,\end{cases}}$ 那麼 $a={\begin{cases}>b,\\<b,\\=b;\end{cases}}$

反過來，如果 $a={\begin{cases}>b,\\<b,\\=b,\end{cases}}$ 那麼 $a-b={\begin{cases}>0,\\<0,\\=0.\end{cases}}$

在上面所講的式子裏， $a>b$ 和 $a<b$ 這兩個式子是用不等號「$>$」和「$<$」把兩個實數 $a$ 和 $b$ 聯結起來構成的，它們都叫做不等式； $a=b$ 是用等號「$=$」把兩個實數聯結起來構成的，叫做等式。

此外，還有關係符號「$\leqslant$」（讀作大於或等於）和「$\geqslant$」（讀作小於或等於）。顧名思義。對於實數 $a$ 和 $b$ ， $a\geqslant b$ 表示 $a>b$ 或 $a=b$ ， $a\leqslant b$ 表示 $a<b$ 或 $a=b$。這也是不等式。為了區別，我們把用關係符「$>$」和「$<$」聯結而成的不等式叫做嚴格不等式，而用「 $\leqslant$ 」和「$\geqslant$」聯結而成的不等式叫做非嚴格不等式。

代數式的值的大小比較

有時候，我們也要比較兩個代數式值的大小。這時，可以根據一個代數式的值大 於、小於、或者等於另一個代數式的值，而分別用符號「$>$」、「$<$」、「$\geqslant$」、「$\leqslant$」、「$=$」把它們聯結起來。在前四種情況下，就組成了不等式，在最後一種情況下，就構成了等式。例如

$3+2>4$ ， $a+1<a+2$ ， $x^{2}\leqslant 0$

等等都是不等式；

$3+2=5$ ， $(a+1)^{2}=a^{2}+2a+1$

等等都是等式。

因為單獨用一個字母或數字所表示的數，也可以看做是代數式，所以我們說：

用不等號「$>$」、「$<$」、「$\geqslant$」、「$\leqslant$」、「$\neq$」 把兩個代數式聯結起來所成的式子叫做不等式；用等號「$=$」把兩個代數式聯結起來所成的式子叫做等式。

像比較兩個實數的大小一樣，比較兩個代數式值的大小，也只要考察它們的差就可以了。