高中物理/力與運動/自由落體運動與豎直上拋運動

自由落體運動

定義

定義1：物體僅在重力作用下從靜止開始的運動為自由落體運動（free-fall）。

自由落體運動是初速度為0，加速度為${\boldsymbol {g}}$的勻加速直線運動。

自由落體加速度

在同一地點，任何做自由落體運動的物體加速度相同，記作${\boldsymbol {g}}$，稱作自由落體加速度或重力加速度，方向豎直向下。${\boldsymbol {g}}$值隨高度增大而減小，隨緯度增大而增大。在通常計算中取值9.8 m/s²或10 m/s²。

自由落體運動中相關物理量的關係

因為自由落體運動是初速度為0，加速度為${\boldsymbol {g}}$的勻加速直線運動，其符合勻加速直線運動的一般規律。

速度與時間的關係：${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {g}}t$

位移與時間的關係：${\boldsymbol {x}}={1 \over 2}{\boldsymbol {g}}t^{2}$

位移與速度的關係：${\boldsymbol {v}}^{2}=2{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {x}}$

所以，其滿足以下數學比例式：

從運動開始時刻起，經相同時間間隔物體末速度：1∶2∶3∶4∶…∶n∶…

從運動開始時刻起，經相同時間間隔物體累計位移：1∶4∶9∶16∶…∶n²∶…

從運動開始時刻起，經相同時間間隔物體位移變化量：1∶3∶5∶7∶…∶2n-1∶…

豎直上拋運動

定義

定義2：物體以某初速度上拋，僅受重力作用的運動為豎直上拋運動（vertically upward projectile motion）。

豎直上拋運動是初速度不為0，加速度為${\boldsymbol {g}}$的勻變速直線運動。 與其它勻加速直線運動類似，豎直上拋運動滿足：

速度與時間的關係：${\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v}}_{0}+{\boldsymbol {g}}t$

位移與時間的關係：${\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {v}}_{0}t+{1 \over 2}{\boldsymbol {g}}t^{2}$

位移與速度的關係：${\boldsymbol {v}}^{2}-{\boldsymbol {v}}_{0}^{2}=2{\boldsymbol {g}}\cdot {\boldsymbol {x}}$

注意上述為矢量式，需注意初速度矢量方向與重力加速度相反。

若改寫為標量式，因為${\boldsymbol {g}}$方向與初速度方向相反，須加上負號：

速度與時間的關係：$v=v_{0}-gt$

位移與時間的關係：$x=v_{0}t-{1 \over 2}gt^{2}$

位移與速度的關係：$v^{2}-v_{0}^{2}=2gx$

豎直上拋運動的對稱性

當物體豎直上拋減速至速度為0後，之後所做運動自然就可以視作自由落體運動。那麼在此之前呢？

在此之前，物體同樣只受加速度${\boldsymbol {g}}$，而物體的末速度為0。那麼假如（只是假如）時間反演，那麼物體就變成從靜止開始以加速度${\boldsymbol {g}}$勻加速豎直向下運動。這時就跟自由落體運動一模一樣了。所以豎直上拋運動有對稱性。

事實上，所有末速度為0的勻減速運動均可以視作時間反演的初速度為0的勻加速運動，這可以給我們研究問題帶來方便。