逆散射變換

逆散射變換是為解決一些非線性偏微分方程的方法。該方法類似於一種非線性版本的傅立葉變換。

逆散射變換可應用於許多所謂的完全可解模型。包括Korteweg–de Vries方程，非線性薛定諤方程，耦合非線性薛定諤方程，Sine-Gordon方程，Kadomtsev-Petviashvili方程，Toda晶格方程，Ishimori方程，Dym方程等。

逆散射問題可寫成Riemann–Hilbert factorization問題。如此可以推廣到微分算子階數大於2，以及周期性位勢。

方程式的解

第一步. 寫下非線性偏微分方程$u_{t}=f(u,u_{x},\dots )$。這通常是來自物理學的研究。

第二步. 準備好隨時間演化的散射系統，其中 Lax pair 包含兩個線性算子，$L$ 和 $M$，使得 $Lv=\lambda v$ 並且 $v_{t}=Mv$, 這邊下標 t 表示對時間的偏微分。這邊很重要的參數--特徵值$\lambda$是與時間無關的常數，也就是$\lambda _{t}=0$。這件事情的充分必要條件如下：對$Lv=\lambda v$取時間微分

$L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.$

將 $v_{t}$ 代換成 $Mv$

$L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.$

再改寫最右邊項

$L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.$

因此，對$v\not =0$,$\lambda _{t}=0$ 若且唯若

$L_{t}+LM-ML=0.\,$

這就是 Lax 方程式。最簡單的選取$L$是Schrödinger算子：

$L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u,$

比較 $L_{t}v+Lv_{t}$ 和 ${\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+uv\right)$ 之後我們得出 ${\frac {\partial L}{\partial t}}=u_{t}$。 在適當的選取 Lax pair後，Lax 方程式會是原來的非線性偏微分方程$u_{t}=f(u,u_{x},\dots )$。

第三步. 在無窮遠處描述本徵函數(eigenfunctions)的時間演化和相對應的每個特徵值$\lambda$，耗散波函數的係數，反射係數，這三個組成所謂的散射數據。這系統的時間演化是可解的線性常微分方程。

第四步. 解 Gelfand–Levitan–Marchenko 積分方程，這個線性積分方程可以獲得原來的非線性偏微分方程的解。為了做到這一點，需要在所有的散射數據。

範例: Korteweg–de Vries 方程

Korteweg–de Vries 方程是一個非線性函數u的偏微分方程;包含兩個實數的變量，空間變量x 和時間變量t：

${\frac {\partial u}{\partial t}}-6\,u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}=0,\,$

解這個方程式的初值問題 $u(x,0)$是一個 Schrödinger 方成的特徵值問題

${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-u(x,t)v=\lambda v$

這裡 $v$ 是包和變數 t 和 x 的未知函數，u 是 Korteweg–de Vries 方程式的解除了$u(x,t=0)$已知外，其他$u(x,t\neq 0)$未知。 從薛定諤方程，我們得到

$u={\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-\lambda$

也就是說

$L=\partial _{x}^{2}-u$

$M=-4\partial _{x}^{3}+6u\partial _{x}+3u_{x}$

把 $u={\frac {1}{v}}{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}-\lambda$ 帶到 $Mv=v_{t}$ 會變成只有 $v$ 的微分方程式，解出 $v$ 的散射數據。

• http://web.archive.org/20090423234052/www.math.ucla.edu/~rrtakei/gradProj/poster_apma935.pdf