航空動力裝置控制規律與特性/第一章

第一章 航空動力裝置及其部件中過程的相似和物理模擬

發動機特性計算中，主要的原始數據是其各個部件的特性。各部件的特性指的是其主要指標（有效性參數）與決定所研究部件在發動機系統中工作狀態的主要因素的關係。各部件的特性可用計算方法獲得，也可通過試驗獲得。獲得部件特性的計算方法，歸結於這些部件中熱力氣體動力過程的數學模擬。這些數字模擬是通過編制適合與每個所研究部件的燃氣流運動方程和對其求解來達到的。這些解是近似的，其近似程度取決於所採用的數學模型的水平。

在發動機及其部件的研製、試驗調試和調整中，廣泛採用過程物理模擬。通過對發動機各個部件模型的試驗研究，過程物理模擬可確定其主要的數據和特性。這種模擬是按相似理論的規則實現的。在發動機及其部件的試驗過程中，為了在試驗台上模仿飛行條件，以及將試驗數據換算成標準大氣條件，相似理論具有重要的意義。

1.1 氣體動力方程

發動機及其部件中過程的數學模擬和物理模擬，均建立在氣體運動方程的應用基礎上。

—般情況下，發動磯各部件中進行的是粘性可壓縮氣體的空間(三元)流動。空間中每一個點上的氣流參數，是由速度向量c， 壓力p，密度ρ，和溫度T表示。這些參數受空間的坐標x、y、z和時間T制約。發動機氣體動力學的題解，以能求出下列關係式描述的整個流動場為前提：

c=c(x,y,z,t);p=p(x,y,z,t);ρ=ρ(x,y,z,t);T=T(x,y,z,t);    (1-1)

伴有熱現象的粘性可壓縮氣體的運動，可用連續微分方程、運動微分方程和能量微分方程來描述。在用數學方法對各種技術課 題求解與主要相似準則的獲取和論證中，這些方程得到廣泛的應用。

為推導氣體動力微分方程，必領研究具有平行六面體原始形狀的無限小的氣體粒子運動。

連續方程表示所研究容積的每個界面通過的流量（流進和流出）是平衡的。

連續方程可寫成下列向量形式：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho c)=0$     (1-2)

而連續方程標量形式則有：

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho c_{x})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho c_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho c_{z})}{\partial z}}=0$     (1-3)

式中 $c_{x}$，$c_{y}$和$c_{z}$——速度向量c在x，y和z軸上的投影。

微分形式的運動方程是根據達朗貝爾原理應用於分出的微元容積，並考慮質量力和表面力對其作用的條件下推導出的。後者又分為壓力和摩擦力。

納弗也-斯托克斯形式的粘性可壓縮氣體運動方程，可轉換成如下向量表達式:

$\rho {\frac {dc}{dt}}=\mathbf {R} -grad\,\mathbf {p} +\mu \Delta c+{\frac {1}{3}}\mu grad(div\,c)$    (1-4)

這個方程的左邊是慣性力，右邊是作用於微元容積上各力之和。

這裡 $\mathbf {R}$——質量力；$grad\,\mathbf {p}$——各壓力的合力；$\mu \Delta c+{\frac {1}{3}}\mu grad(div\,c)$——各摩擦力的合力；$\mu$——氣體動力粘度；

對不可壓縮流體$divc$=0，因此：

$\rho {\frac {dc}{dt}}=\mathbf {R} -grad\,\mathbf {p} +\mu \Delta c$    (1-5)

式中：Δ——拉普拉斯算子。

這個方程在x,y和z軸上的投影是：

$\rho {\frac {\partial c_{x}}{\partial t}}+\rho (c_{x}{\frac {\partial c_{x}}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial c_{x}}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial c_{x}}{\partial z}})=X+{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}c_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{x}}{\partial z^{2}}})$
$\rho {\frac {\partial c_{y}}{\partial t}}+\rho (c_{x}{\frac {\partial c_{y}}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial c_{y}}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial c_{y}}{\partial z}})=Y+{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}c_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{y}}{\partial z^{2}}})$     (1-6)
$\rho {\frac {\partial c_{z}}{\partial t}}+\rho (c_{x}{\frac {\partial c_{z}}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial c_{z}}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial c_{z}}{\partial z}})=Z+{\frac {\partial p}{\partial z}}+\mu ({\frac {\partial ^{2}c_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}c_{z}}{\partial z^{2}}})$

引力$g(X=g_{x}\rho ;Y=g_{y}\rho ;Z=g_{z}\rho )$或阿基米德力不作為質量力。

能量微分方程是從能量守恆定律應用於氣體微元容積的結果中得出的。如果認為氣體的物理性質是不變的，那麼在沒有內部 熱源的情況下，對不可壓縮的流體

$\rho c_{p}{\frac {dT}{dt}}=\lambda \Delta T+\mu \Phi$    (1-7)

式中：λ——導熱係數；$c_{p}$——氣體等壓比熱；Φ——考慮產生於摩擦中的熱量的耗散函數。

取$\Phi \approx 0$，並引入稱之為導溫係數的$a={\frac {\lambda }{c_{p}\rho }}$後，則得

${\frac {dT}{dt}}=a\Delta T$    (1-8)

展開導數和拉普拉斯算子，得：

${\frac {\partial T}{\partial t}}+c_{x}{\frac {\partial T}{\partial x}}+c_{y}{\frac {\partial T}{\partial y}}+c_{z}{\frac {\partial T}{\partial z}}=a({\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T}{\partial z^{2}}})$    (1-9)

氣體動力學的任務，概括起來就是尋找在被研究空間的所有點上任意瞬間t的氣體的速度分量值$c=c(c_{x};c_{y};c_{z})$和氣體參數值P，ρ和T。這樣就有六個屬於求解的量。如果對已寫出的五個方程再補加氣體的狀態方程，就可得到相對六個未知數的六個方程的閉合組。

但是，得到的方程組所描述的是無限多的該類現象。為了求解具體問題，必須從這類現象中分出有關部分。為此，必須提出邊界條件，又稱之為單值性條件。這些條件給出所研究過程的全部獨有特徵的描述，包括：

1. 表徵進行過程的物體或系統形狀和尺寸的幾何條件。
2. 確定初始瞬間氣流狀態的時間(初始的)條件。
3. 確定系統邊界上氣流狀態的邊界條件。
4. 確定液體的種類，其物理參數和這些參數與溫度關係的物理條件。

在最後的條件中，根據課題的性質應作一系列簡化。流動可認為是穩定的，而氣體可認為是理想的。這樣，運動方程的寫法就可大大簡化。在許多課題的研究中，流動可以看成是二元(葉柵)或一元(通道中的流動)的。在許多情況下，還可以忽略熱交換。在這樣的簡化條件下，氣體動力學的—些課題可在利用數值方法的基礎上求解，或者通過組成氣流平均參數非線性代數方程組的方法求解。

計算發動機某一部件進口和出口(1-1和2-2截面之間)氣流平均參數的代數方程組，正如航空發動機原理^[1]中大家都熟悉的，是四個方程：

連續方程：

$G=\rho _{1}c_{1}F_{1}=\rho _{2}c_{2}F_{2}$    (1-10)

能量守恆方程：

$i_{1}+{\frac {c_{1}^{2}}{2}}+L$внеш$+Q$внеш$=i_{2}+{\frac {c_{2}^{2}}{2}}$    (1.11)