理論力學/哈密頓原理

經典力學的基本原理可以用哈密頓原理來表述。根據該原理，如果一個物理系統在t₁時刻具有某種確定的分布，並在t₂時刻演化到另一種分布，則系統真實的演化過程應當使如下的積分在所有可能的演化過程中取「平穩值」：

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$

這個積分被稱為作用量。下面以一個有限自由度的體系為例，利用哈密頓原理推導它的運動方程。設這個系統的自由度數為N，q₁...q_N是刻畫它的一組廣義坐標。這個系統的拉氏量依賴於這N個廣義坐標，它們隨時間的變化率（即廣義速度）和時間。「系統真實的運動軌跡使得作用量取平穩值」等價於系統真實的運動軌跡滿足如下的變分方程：

$\delta S=\Sigma _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}dt({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}\delta q_{i}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\delta {\dot {q_{i}}})=0$

利用分部積分法，可以將上述方程轉化為：

$\Sigma _{i=1}^{N}\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}))\delta q_{i}dt+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\delta q_{i}|_{t_{1}}^{t_{2}}=0$

由於在初始時刻和末了時刻體系的狀態是確定的，$\delta q_{i}(t_{1})=\delta q_{i}(t_{2})=0$，上式中第二項消失。再由不同廣義坐標之間的獨立性，可以推出對任意i，都有：

${\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}-{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}})=0$

這組方程被稱為歐拉-拉格朗日方程，它們都是關於廣義坐標的二階常微分方程。在已知廣義坐標和廣義速度初始值的情形下，系統的運動軌跡由這組方程的解給出。

在上一節中，我們引進了拉氏量，但是我們並沒有斷言拉氏量的唯一性。事實上，對任何一個系統來說，拉氏量都不能唯一確定。也就是說，不同的拉氏量可能給出相同的演化方程。在經典力學中，只有演化方程才具有實際的物理意義，拉氏量的這種不唯一性也意味着拉氏量的具體數值不具有物理意義。

一個簡單的例子是，如果L是系統的拉氏量，則系統的演化令L滿足哈密頓原理。令$L'=aL+b$，a和b是任意兩個不為零的常數，則L'對應的作用量S'和L對應的作用量S具有如下關係：$S'=aS+b$。由$\delta S=0$可以推得$\delta S'=0$，因而系統的演化也令L'滿足哈密頓原理，即L'也是系統的拉氏量。對於一個有限自由度的體系，我們還可以證明，在拉氏量上加上任意一個關於廣義坐標和時間的函數f對時間的全導數，得到的新函數仍然是拉氏量。事實上，在拉氏量上加上這個全導數以後，作用量變為：

$S'=S+\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {df}{dt}}dt=S+f|_{t_{1}}^{t2}$

在初始時刻和末了時刻，系統的廣義坐標是確定的，因而上式中額外的項是不依賴於路徑的常數，加上這些項不影響變分以後得到的運動方程。這就證明了新函數仍然是體系的拉氏量。

以上針對有限自由度體系運動方程的推導也可以自然地推廣到場系統上。在實際運用中，我們通常只關心具有局域性的場系統。這類場系統的拉氏量具有如下的特殊形式：

$L=\int d^{3}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{x}\phi ,...,\partial _{x}^{k}\phi ,\partial _{t}\phi ,....,\partial _{t}\partial _{x}^{k}\phi ,x,t)$

而作用量為：

$S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt=\int {\mathcal {L}}dtd^{3}x$

其中${\mathcal {L}}$被稱為拉格朗日密度，簡稱拉氏密度，它是某點處場勢、場勢對空間坐標的導數（這裡假設其依賴直到第k階的導數）及它們對時間的一階導數，和時間、空間的函數。拉氏量的這種特殊形式意味着空間中不同點對應的場勢，也就是不同的動力學變量之間沒有直接的相互作用。利用哈密頓原理，變分此作用量便可得到場的運動方程。場的局域性導致得到的運動方程中，某個點場勢隨時間的變化率只會依賴這個點的場勢及其導數。為簡單起見，考慮一個拉氏密度只依賴場勢及其對時、空坐標一階導數的場系統：

$S=\int {\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{x_{i}}\phi ,\partial _{t}\phi ,x_{i},t)d^{3}xdt,i=1,2,3$

$\delta S=0$給出：

$\int ({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\Sigma _{i}\partial _{x_{i}}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x_{i}}\phi )}})-\partial _{t}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\phi )}}))\delta \phi d^{3}xdt+\oint _{S}(\Sigma _{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x_{i}}\phi )}}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\phi )}})\delta \phi dA=0$

上式中第二項是在三維空間和一維時間張成的四維空間中，一個以時間軸為軸線，半徑趨近於無窮的「圓柱」表面的面積分。在圓柱的兩個底面上，場系統的位形是固定的，因而有$\delta \phi =0$，面積分為0；在圓柱的側面上，由於無窮遠處場勢趨於零，面積分同樣為零。因此，上式中第二項消失，我們得到了場的運動方程：

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}-\Sigma _{i}\partial _{x_{i}}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{x_{i}}\phi )}})-\partial _{t}({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{t}\phi )}})=0$

類似地，我們也可以證明，在拉氏密度上加上某個場勢和時空坐標的函數的四維散度，場的運動方程不改變。

注釋

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哈密頓原理