有理數的減法

設$a$，$b$，$c$為有理數，若$c+b=a$，則稱數$c$為數$a$及$b$的差。

性質

有理數的減法是定義在有理數的加法基礎之上的，從邏輯角度來說，需要加以證明差的兩個性質：

• 差的存在性：即數$a$及$b$的差是否存在？
• 差的唯一性：若差存在，則是否唯一？

證明

根據有理數的加法的若干性質，可以對有理數的差的存在性與唯一性進行證明。

• 先證存在性

設有理數$c=a+(-b)$，則

$c+b=a+(-b)+b=a+[(-b)+b]=a+0=a$滿足差的定義

從而$c=a+(-b)$為數$a$及$b$的差。

因此有理數的差存在。

• 再證唯一性

若$c+b=a$，則兩邊加上-b，得

$c+b+(-b)=a+(-b)$，從而

$c+[b+(-b)]=a+(-b)$

$c+0=a+(-b)$

$c=a+(-b)$

因此，若$c$為$a$及$b$的差，則$c$必等於$a+(-b)$。

從而有理數的差存在且唯一。

記號

由於有理數的差存在且唯一，可以引入減法記號（$-$），並且$a$及$b$的差記為$a-b$。

推論

根據有理數的加法及減法的性質，可以得到一些有用的推論：

• $a-a=0$
• $0-a=-a$
• $a=-\left(-a\right)$
• $a>b\Leftrightarrow a-b>0$
• $a>b\Leftrightarrow -a<-b$，特別地，$a>0\Leftrightarrow -a<0$

參考

• 有理數的加法

引用

• 微積分學教程，(第一卷)(第8版)，第2、3頁，ISBN 5-9221-0436-5，菲赫金哥爾茨 著，楊弢亮 葉彥謙 譯，郭思旭 較，高等教育出版社