Maple/光的球面折射
光的球面折射
本节叙述Maple在球面折射的光线追踪的应用。
图中PA 是一个球面，球心为O，半径为r。光轴为AOBC 入射光线在P点与球面相交，入射线与球面的垂直线交角为i1，入射线的延长线与光轴相交于C，交角为U1； 折射线与光轴相交于B点，交角为U2。
AC=L1，AB=L2
在球面左边介质的折射系数=N1，在球面右边的介质的折射系数=N2
在入射线、垂直线、光轴形成的三角形OPC中
由于OC=L1-r
……………………(1)
在（折射线、垂直线、光轴），三角形OPB中，
因OB=L2-r
……………………(2)
显然 U1+i1=U2+i2…………………………………………(3)
又根据光的折射定律
- sin(i1)*N1=sin(i2)*N2 …………………………………………(4)
球面折射的光路计算
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透镜的厚度为的d=0.6 前球面半径r1=10，后球面半径r2=-5
已知 三道入射光线 与光轴的夹角L1=1,2,3 度。
三道光线的物距 相同 L1=-24，
介质制的折射率 N1=1,N2=1.5180,
- 列出Maple 方程式：
f1 := sin(i) = sin(U)*(L1-r)/r;
f2 := sin(i2) = N1*sin(i1)/N2
f3 := U1+i1 = U2+i2
f4 := L2-r = sin(i2)*r/sin(U2)
> sys := {f1, f2, f3, f4};
- sys:={ L2 - r = sin(i2) r/sin(U2), U + i = U2 + i2, sin(i) = sin(U) (L - r)/r,sin(i2) =N1 sin(i)/N2 }
g:=proc(U,L,r,N1,N2) {L2 - r=sin(i2)*r/sin(U2),U+i=U2+i2,sin(i)=sin(U)*(L - r)/r,sin(i2)=N1*sin(i)/N2} end proc;
将度化为弧度
> d1 := evalf(convert(-degrees, radians));
- -0.01745329252
> d2 := evalf(convert(-2*degrees, radians));
- -0.03490658504
d3 := evalf(convert(-3*degrees, radians))
- d3 := -0.5235987758e-1
- 第一光线 在第一球面折射的三角方程组
> f5 := g(d1, -24, 10, 1, 1.5180);
- f5:={ -0.01745329252 + i1 = U2 + i2, L2 - 10 = 10 sin(i2)/sin(U2),
- sin(i) = 0.05933818190, sin(i2) = 0.6587615283 sin(i) }
- 第二光线 在第一球面折射的三角方程组
> f6 := g(d2, -24, 10, 1, 1.5180);
f6:={-0.03490658504 + i1 = U2 + i2, L2 -10 =10 sin(i2)/sin(U2), sin(i) = 0.1186582888, sin(i2) = 0.6587615283 sin(i) }
- 第三光线 在第一球面折射的三角方程组
f7 := {-0.5235987758e-1+i = U2+i2, L2-10 = 10*sin(i2)/sin(U2), sin(i) = .1779422513, sin(i2) = .6587615283*sin(i)}
- 光线追踪： 第1光线在第一球面折射后的夹角，像距、入射角和折射角
> fsolve(f5);
- {L2 = 148.6115927, U2 = 0.002820093360, i1 = 0.05937305901,i2 = 0.03909967313}
- 光线追踪： 第2光线在第一球面折射后的夹角，像距、入射角和折射角
> fsolve(f6);
- {L2 = 145.1313098, U2=0.0057845922, i1 = 0.1189385152,i2 = 0.07824733803}
- 光线追踪： 第3光线在第一球面折射后的夹角，像距、入射角和折射角
> fsolve(f7);
- {L2 = 139.6225687, U2 = 0.009043418012, i1 = 0.1788949332,i2 = 0.1174916376}
- 第1 光线 在第二球面折射的三角方程组
> f51 := g(0.2820093360e-2, 147.938, -5, 1.5180, 1);
： { 0.002820093360 + i = U2 + i2, L2 + 5 = -5 sin(i2)/ sin(U2),
- sin(i) = -0.08625977332, sin(i2) = 1.5180 sin(i) }
- 第2 光线 在第二球面折射的三角方程组
> f61 := g(0.5784592167e-2, 144.551, -5, 1.5180, 1);
- {0.0057845922 + i = U2 + i2, L2 + 5 = - 5 sin(i2)/ sin(U2),
- sin(i) = -0.1730173437, sin(i2) = 1.5180 sin(i) }
- 第3 光线 在第二球面折射的三角方程组
> f71 := g(0.9043418012e-2, 139.046, -5, 1.5180, 1);
- { 0.009043418012 + i = U2 + i2, L2 + 5 = - 5 sin(i2) /sin(U2),
- sin(i) = -0.2605300870, sin(i2) = 1.5180 sin(i) }
- 光线追踪： 第1光线在第二球面折射后的夹角，像距、入射角和折射角
> fsolve(f51);
- {L2 = 8.710016670, U2 = 0.04777242746, i = -0.08636710598,i2 = -0.1313194401}
- 光线追踪： 第2光线在第二球面折射后的夹角，像距、入射角和折射角
> fsolve(f61);
- {L2 = 8.469472346, U2 = 0.09764977648, i = -0.1738923957,i2 = -0.2657575800}
- 光线追踪： 第3光线在第二球面折射后的夹角，像距、入射角和折射角
> fsolve(f71);
- {L2 = 8.053825707, U2 = 0.1520676925, i = -0.2635712102,
- i2 = -0.4065954847}
最后答案，三道光线经透镜折射后的相距分别为， 8.710016670、8.469472346、8.053825707
三道光线的相距并不在同一点上，角度越大的光线，相距更近(球面相差）
参考文献
编辑- A.E.Conrady, Applied Optics and Optical Design p6-20 Dover（用八位对数表、三角函数表计算结果为8.7088，8.4701，8.0545）。
- 何青 王丽芬编著 Maple 教程 科学出版社
- Martha L. Bell &James Braselton, Maple V by Example