纯粹数学/范畴论

范畴论是数学的一门学科，以抽象的方法来处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“物件”及“态射”。数学中许多重要的领域可以形式化成范畴，并且使用范畴论，令在这些领域中许多难理解、难捉摸的数学结论可以比没有使用范畴还会更容易叙述及证明。

范畴最容易理解的一个例子为集合范畴，其物件为集合，态射为集合间的函数。但需注意，范畴的物件不一定要是集合，态射也不一定要是函数；一个数学概念若可以找到一种方法，以符合物件及态射的定义，则可形成一个有效的范畴，且所有在范畴论中导出的结论都可应用在这个数学概念之上。

范畴最简单的例子之一为群胚，其态射皆为可逆的。群胚的概念在拓扑学中很重要。范畴现在在大部分的数学分支中都有出现，在理论电脑科学的某些领域中用于对应资料型别，而在数学物理中被用来描述向量空间。

范畴论不只是对研究范畴论的人有意义，对其他数学家而言也有着其他的意思。一个可追溯至1940年代的述语“一般化的抽象废话”，即被用来指范畴论那相对于其他传统的数学分支更高阶的抽象化。

背景

研究范畴就是试图以“公理化”的方法抓住在各种相关连的“数学结构”中的共同特性，并以结构间的“结构保持函数”将这些结构相关起来。因此，对范畴论系统化的研究将允许任何一个此类数学结构的普遍结论由范畴的公理中证出。

考虑下面的例子：由群组成的类Grp 包含了所有具有“群结构”的物件。要证明有关群的定理，即可由此套公理进行逻辑的推导。例如，由公理中可立即证明出，群的单位元素是唯一的。

不是只专注在有特定结构的个别物件（如群）上，范畴论会着重在这些物件的态射（结构保持映射）上；经由研究这些态射，可以学到更多关于这些物件的结构。以群为例，其态射为群同态。两个群间的群同态会严格地“保持群的结构”，这是个以将一个群中有关结构的讯息运到另一个群的方法，使这个群可以看做是另一个群的“过程”。因此，对群同态的研究提供了一个得以研究群的普遍特性及群公理的推论的工具。

类似的研究也出现在其他许多的数学理论中，如在拓扑学中对拓扑空间的连续映射的研究（相关范畴称为Top），及对流形的光滑函数的研究等。