理论力学/广义坐标
理论物理学最基本的任务是求解物理系统随时间演化的规律。换言之，给定一个系统当前时刻的状态，如何推测这个系统在之后任意时刻的状态。本书讲述经典力学的方法，也将在经典的层面上回答以上这个问题。
那么，如何在经典力学层面上确定一个系统当前的状态呢？对任意一个物理系统，我们都可以先验地假定，任意时刻其在空间中的分布状况都为一组彼此独立的物理量所确定，这组物理量被称为系统的动力学变量。系统的动力学变量的数目被称为系统的自由度。对于一个自由粒子构成的系统来说，粒子在三维空间中的坐标（x,y,z）（又称为笛卡儿坐标）唯一地确定了该系统在空间中的分布。因而这个系统的自由度数为3，粒子的坐标可以作为系统的动力学变量。事实上，对于这个系统而言，任意彼此独立的函数X=X(x,y,z)，Y=Y(x,y,z)，Z=Z(x,y,z)都唯一确定了粒子在空间中的位置，它们同样可以作为这个系统的动力学变量。例如，就是满足这样要求的一组函数，它们被称为极坐标。更一般地，对于N个粒子构成的系统，可以用这N个粒子的笛卡尔坐标作为系统的动力学变量，同时，任意3N个关于这些笛卡尔坐标独立函数都可以作为系统的动力学变量。通常，有限个自由度的系统的动力学变量可以视作“推广了的”笛卡尔坐标——广义坐标。
在后续的课程中，我们还会处理一类具有大量自由度，甚至不可数无穷个自由度的系统——场。例如，在经典电动力学中，我们会研究连续时空中的电磁场系统。对一个连续时空中的场，可以在空间中的每个点定义一个场势，不同点的场势可以视作独立的动力学变量，如此一来，场系统便具有不可数无穷个自由度。
在给定的时刻，确定了系统的动力学变量的数值（或函数形式，对于场系统），也就确定了系统该时刻在空间中的分布，然而这并不足以确定系统随时间的演化。t=0时刻一个处于原点的自由粒子，在未来可以沿着任意一条直线作匀速直线运动，具体作何运动取决于粒子在该时刻的速度。在这里，我们同样是先验地假定，对于任意的物理系统，都存在着一个由所有动力学变量，它们随时间的一阶导数，和时间确定的函数（或泛函，对于场系统）L。经典力学的基本原理可以被表述为：系统随时间的演化令L满足哈密顿原理。这个函数被称为系统的拉格朗日函数，简称为拉格朗日量或拉氏量。在下一章中，我们将叙述哈密顿原理，并由此推导动力学变量随时间演化的方程式。
“拉氏量是动力学变量，其对时间一阶导数和时间的函数”的假定意味着，给定系统动力学变量的数值，以及它们随时间的变化率，系统的演化规律就被完全确定下来了。这一点当然不能得到理论上的严格证明，而应被理解为基本原理的一部分。但是，我们可以从一些角度去尝试“理解”这一假定。例如，假设一个系统的拉氏量依赖于动力学变量对时间的二阶导数，我们将发现系统的能量没有下界，因而在物理上是不允许的。这一矛盾的结果被称为奥斯特罗格拉德斯基不稳定性。
