逻辑通路/孟氏定理
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假设 A、B、C 为(平面上或空间中)不共线三点,D、E、F 分别为直线 上异于 A、B、C 的三点,则我们可以推得下列的事实: D、E、F 三点共线
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证明
编辑- 我们先证明如果 D、E、F 三点共线的话,则上面所提的三个“有向比”的乘积为 -1。
- 如右图,我们从 A、B、C 分别作垂线到直线 DEF 上。假设它们的垂足分别为 G、H、I,根据“有向比性质 (1)”,我们可以得知:
- 所以,
= = ..... 根据“有向比性质 (2)” = (-1)(-1)(-1) = -1
- 因此,我们证明了三个“有向比”的乘积为 -1。
- 其次,我们来证明:如果三个“有向比”的乘积为 -1,则 D、E、F 三点共线
- 首先,我们考虑直线 。
- 直线 可能与直线 平行或相交,所以底下我们分成两个路径来思考:
- (1) 直线 与直线 平行
- (2) 直线 与直线 相交