逻辑通路/两平面向量所夹面积

假设我们要计算由

${\vec {u}}={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}$ 与 ${\vec {v}}={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}$

所围成的平行四边形面积（有向面积），我们可以选择将 ${\vec {v}}$ 分解成：

${\vec {v}}={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=x{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}$

并计算出 $y$ 的大小，这样我们就可以利用“底×高”算出平行四边形的面积。

计算 y

如果我们将

${\vec {v}}$ 与 ${\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}$

作内积，则我们可以得到：

${\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}=\left(x{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}+y{\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}\right)\cdot {\begin{bmatrix}-b\\a\end{bmatrix}}$

$ad-bc=y\left(a^{2}+b^{2}\right)$

如果我们假设：

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

则：

$y={\frac {\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}{r^{2}}}$

（注意：y 有正负号）

计算有向面积

利用“底×高”，我们可以得到：

$r\cdot yr=yr^{2}={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}$