信号与系统/周期信号的功率分析

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原始语言：Finite field；臺灣：有限體；大陆：有限域； 当前用字模式下显示为→有限域
原始语言：Fractal；臺灣：碎形；大陆：分形； 当前用字模式下显示为→分形
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原始语言：Linear independence；臺灣：線性獨立；大陆：线性无关； 当前用字模式下显示为→线性无关
原始语言：Local field；臺灣：局部體；大陆：局部域； 当前用字模式下显示为→局部域
原始语言：Identity element；臺灣：單位元素；香港：單位元；大陆：单位元； 当前用字模式下显示为→单位元
原始语言：Inverse element；臺灣：反元素；大陆：逆元素； 当前用字模式下显示为→逆元素
原始语言：Least squares；大陆：最小二乘；臺灣：最小平方； 当前用字模式下显示为→最小二乘
原始语言：Markov chain；臺灣：馬可夫鏈；大陆：马尔可夫链； 当前用字模式下显示为→马尔可夫链
原始语言：Mean value theorem；臺灣：均值定理；大陆：中值定理；香港：中值定理； 当前用字模式下显示为→中值定理
原始语言：Number field；臺灣：數體；大陆：数域； 当前用字模式下显示为→数域
原始语言：Norm；臺灣：範數；大陆：范数； 当前用字模式下显示为→范数
原始语言：Normed；臺灣：賦範；大陆：赋范； 当前用字模式下显示为→赋范
原始语言：Ordered field；臺灣：有序體；大陆：有序域； 当前用字模式下显示为→有序域
原始语言：Orthogonal complement；臺灣：正交補餘；大陆：正交补； 当前用字模式下显示为→正交补
原始语言：optimization；臺灣：最佳化；大陆：最优化； 当前用字模式下显示为→最优化
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原始语言：Prime number；臺灣：質數；大陆：素数； 当前用字模式下显示为→素数
原始语言：Prime ring；臺灣：質環；大陆：素环； 当前用字模式下显示为→素环
原始语言：Probability；臺灣：機率；大陆：概率； 当前用字模式下显示为→概率
原始语言：Quadratic field；臺灣：二次體；大陆：二次域； 当前用字模式下显示为→二次域
原始语言：Real axis；臺灣：實數軸；大陆：实轴； 当前用字模式下显示为→实轴
原始语言：Real closed field；臺灣：實閉體；大陆：实闭域； 当前用字模式下显示为→实闭域
原始语言：Recurrence；臺灣：遞迴；大陆：递归； 当前用字模式下显示为→递归
原始语言：Recurrence relation；臺灣：遞迴關係；大陆：递推关系； 当前用字模式下显示为→递推关系
原始语言：Scalar；臺灣：純量；大陆：标量； 当前用字模式下显示为→标量
原始语言：Scalar curvature；臺灣：純量曲率；大陆：数量曲率； 当前用字模式下显示为→数量曲率
原始语言：Sigma notation；大陆：求和号；臺灣：和式號； 当前用字模式下显示为→求和号
原始语言：Simple group；臺灣：單純群；大陆：单群； 当前用字模式下显示为→单群
原始语言：Simple Lie group；臺灣：單純李氏群；大陆：单李群； 当前用字模式下显示为→单李群
原始语言：Simplex；臺灣：單體；大陆：单纯形； 当前用字模式下显示为→单纯形
原始语言：Simplicial complex；臺灣：單體複形；大陆：单纯复形； 当前用字模式下显示为→单纯复形
原始语言：Singularity；臺灣：奇異點；大陆：奇点； 当前用字模式下显示为→奇点
原始语言：Splitting field；臺灣：分裂體；大陆：分裂域； 当前用字模式下显示为→分裂域
原始语言：Subfield；臺灣：子體；大陆：子域； 当前用字模式下显示为→子域
原始语言：Tangent bundle；臺灣：切線束；大陆：切丛； 当前用字模式下显示为→切丛
原始语言：Uniform boundedness principle；臺灣：均勻有界原理；大陆：一致有界性原理； 当前用字模式下显示为→一致有界性原理
原始语言：Uniform continuity；臺灣：均勻連續；大陆：一致连续； 当前用字模式下显示为→一致连续
原始语言：Uniform convergence；臺灣：均勻收斂；大陆：一致收敛； 当前用字模式下显示为→一致收敛
原始语言：Uniform norm；臺灣：均勻範數；大陆：一致范数； 当前用字模式下显示为→一致范数
原始语言：Uniform space；臺灣：均勻空間；大陆：一致空间； 当前用字模式下显示为→一致空间
原始语言：Union；臺灣：聯集；大陆：并集； 当前用字模式下显示为→并集
原始语言：Unitary space；臺灣：么正空間；大陆：酉空間； 当前用字模式下显示为→酉空間
原始语言：Unitary group；臺灣：么正群；大陆：酉群； 当前用字模式下显示为→酉群
原始语言：Unitary matrix；臺灣：么正矩陣；大陆：酉矩阵； 当前用字模式下显示为→酉矩阵
原始语言：Variance；大陆：方差；臺灣：變異數； 当前用字模式下显示为→方差
原始语言：Bayes' theorem；大陆：贝叶斯法则；臺灣：貝氏定理； 当前用字模式下显示为→贝叶斯法则

周期信号的功率分析

周期 $T_{0}$ 的周期信号其平均功率计算式：

    $P={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid x(t)\mid ^{2}\,dt$

若将此周期信号表示成指数傅里叶级数，上述平均功率计算式可改写成：

$P={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)x^{*}(t)\,dt={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)[\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}]^{*}\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}e^{-jn\omega _{0}t}\,dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}{\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}x(t)e^{-jn\omega _{0}t}\,dt$

$=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}^{*}X_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mid X_{n}\mid ^{2}$

周期信号的功率分析(续)

改用三角傅里叶级数第二式表示：

$x(t)=C_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})$

 $x(t)$ 的平均功率：

$P={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid x(t)\mid ^{2}\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid C_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})\mid ^{2}\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}[C_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}^{2}\cos ^{2}(n\omega _{0}t+\theta _{n})+2C_{0}\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }C_{n}C_{m}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})\cos(m\omega _{0}t+\theta _{m})]\,dt$

${\frac {1}{T_{0}}}{\begin{cases}{\begin{matrix}\underbrace {C_{0}^{2}\int _{T_{0}}^{0}\,dt} \\T_{0}\end{matrix}}\end{cases}}+{\begin{matrix}\underbrace {\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}^{2}\int _{T_{0}}^{}\cos ^{2}(n\omega _{0}t+\theta _{n})\,dt} \\T_{0}/2\end{matrix}}+{\begin{matrix}\underbrace {2C_{0}\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}\int _{T_{0}}^{}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})\,dt} \\0\end{matrix}}$

$+\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }C_{n}C_{m}{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})\cos(m\omega _{0}t+\theta _{m})\,dt} \\0\end{matrix}}=C_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}^{2}$

周期信号的功率分析(续)

根据三角傅里叶级数及第二式的关系：

    $c_{0}=a_{0}$

   $c_{n}={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}$

  故 $P=a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {a_{n}^{2}}{2}}+{\frac {b_{n}^{2}}{2}})$

Parseval定理

傅里叶级数的Parseval定理(Parseval theorem)或Parseval等式

     (Parseval identity) ：
     一週期訊號 $x(t)$  可表示成三角傅立葉級數或指數傅立葉級數：

     $x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }X_{n}e^{jn\omega _{0}t}$

    $c_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}\cos(n\omega _{0}t+\theta _{n})$

    $a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos n\omega _{0}t+b_{n}\sin n\omega _{0}t)$

此周期信号 $x(t)$ 的平均功率可用傅里叶级数的系数表示如下：

$P={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid x(t)\mid ^{2}\,dt=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\mid X_{n}\mid ^{2}=c_{0}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}^{2}=a_{0}^{2}+\sum _{n=1}^{\infty }({\frac {a_{n}^{2}}{2}}+{\frac {b_{n}^{2}}{2}})$

周期信号的功率分析-Parseval定理

Parseval定理：

　　说明周期信号的平均功率可在时域上计算，也可以使用累加式。
　　此累加式可看成在频域上计算平均功率，周期信号表示成复指数傅里叶级数时，信号频谱离散分布，每一项之平均功率等于该项系数大小(代表该项信号幅度或强度)的平方，加总后得到信号的平均功率。
　　同样地周期信号表示成三角傅里叶级数时，信号频谱离散分布，直流项之平均功率等于该项系数大小的平方，弦波项之平均功率等于该项系数大小平方的1/2。有些情况在时域上计算平均功率比较容易，有些情况则相反。

范例4.17

试求周期信号 $x(t)=2\cos(2\omega _{0}t+30^{o})-4\cos(3\omega _{0}t+120^{o})$ 的平均功率。

$x(t)$ 的基本周期 $T_{0}={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}$

【解】(1)时域上计算：

$P={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}\mid x(t)\mid ^{2}\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}[4\cos ^{2}(2\omega _{0}t+30^{o})+16\cos ^{2}(3\omega _{0}t+120^{o})-16\cos(2\omega _{0}t+30^{o})\cos(3\omega _{0}t+120^{o})]\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}\int _{T_{0}}^{}[2+2\cos(4\omega _{0}t+60^{o})+8+8\cos(6\omega _{0}t+240^{o})-8\cos(5\omega _{0}t+150^{o})-8\cos(\omega _{0}t+90^{o})\,dt$

$={\frac {1}{T_{0}}}{\begin{cases}2{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}\,dt} \\T_{0}\end{matrix}}\end{cases}}+2{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}\cos(4\omega _{0}t+60^{o})\,dt} \\0\end{matrix}}+8{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}\,dt} \\T_{0}\end{matrix}}+8{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}\cos(6\omega _{0}t+240^{o})\,dt} \\0\end{matrix}}-8{\begin{matrix}\underbrace {\int _{T_{0}}^{}\cos(5\omega _{0}t+150^{o})\,dt} \\0\end{matrix}}$

$={\frac {1}{T_{0}}}\left\{2T_{0}+8T_{0}\right\}=10$

(2)频域上计算：

   (a) $x(t)=2\cos(2\omega _{0}t+30^{o})-4\cos(3\omega _{0}t+120^{o})$

          $=2\cos(2\omega _{0}t+30^{o})+4\cos(3\omega _{0}t-60^{o})$

           為三角傅立葉級數第二式。根據Parseval定理：

          $P={\frac {1}{2}}(2)^{2}+{\frac {1}{2}}(4)^{2}=2+8=10$ 
          
           ※由上面計算可知， $x(t)$ 的平均功率由兩項相加而得，此兩項分別是
             $2\cos(2\omega _{0}t+30^{o})$ 的平均功率及 $4\cos(3\omega _{0}t-60^{o})$ 的平均功率，故可用下
 
          圖表示：

      .............................圖
                            
                            上圖稱為 $x(t)$  的單邊功率頻譜(power spectrum) 。

(b)运用尤拉公式， $x(t)$ 可表示成指数傅里叶级数。

$x(t)=2\cos(2\omega _{0}t+30^{o})-4\cos(3\omega _{0}t+120^{o})$

$=2{\frac {e^{j(2\omega _{0}t+30^{o})}+e^{-j(2\omega _{0}t+30^{o})}}{2}}-4{\frac {e^{j(3\omega _{0}t+120^{o})}+e^{-j(3\omega _{0}t+120^{o})}}{2}}$

$=e^{j30^{o}}e^{j2\omega _{0}t}+e^{-j30^{o}}e^{-j2\omega _{0}t}-2e^{j120^{o}}e^{j3\omega _{0}t}-2e^{-j120^{o}}e^{-j3\omega _{0}t}$

$=2e^{j60^{o}}e^{-j3\omega _{0}t}+e^{-j30^{o}}e^{-j2\omega _{0}t}+e^{j30^{o}}e^{j2\omega _{0}t}+2e^{-j60^{o}}e^{j3\omega _{0}t}$

根据Parseval定理， $x(t)$ 的平均功率为

$P=\mid 2e^{j60^{o}}\mid ^{2}+\mid e^{-j30^{o}}\mid ^{2}+\mid e^{j30^{o}}\mid ^{2}+\mid 2e^{-j60^{o}}\mid ^{2}$

$=4+1+1+4=10$

范例4.18

我们可绘出 $x(t)$ 之双边功率频谱如下：

................图