开立方
同一个数x累乘3次,就是x的立方,又叫3次方。例如x=13,13×13×13=2197,=2197。2197开立方的话,就成为A=2197是被开立方数。
开立方公式
编辑
例题
编辑例如,A=2197,是被开立方数,从右到左开始数,每隔3位一撇:2 ;197。右边197的立方根是个位数,左边2是十位数。
“2”介于1³至2³之间,我们知道2197的立方根在10-20之间。10³=1000;20³=8000。
2197距离10³=1000更加近,我们可以估计,2197的立方根在10至15之间。
我们可以取初始值 =10, 11, 12,13,14,15.都是可以的, 例如取 =15.代入公式:
1, =13.25
2, =13。,
=13。 即。 =13.。
当然,初始值取10,或者11,或者12,或者13,或者14,结果都是一样:
例如初始值取10:。, =13.99。
例如初始值取11:。, =13.38。
例如,A=5,k=3,即求: ,而5介于1³至2³之间(1的3次方=1,2的3次方=8)
初始值 可以取1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9,2.0都可以。例如我们取 按照公式:
1, =2+(5/2²-2)1/3=1.75。输入值大于输出值,负反馈;即5/2×2=1.25,1.25-2=-0.75,-0.75×1/3=-0.25,2+(-0.25)=1.75,比前面多取一位数。即取2位数值,即1.7。
2, =1.7+(5/1.7²-1.7)1/3=1.71.输入值小于输出值,正反馈,即5/1.7×1.7=1.73010,1.7301-1.7=0.03,0.03×1/3=0.01,1.7+0.01=1.71。取3位数,比前面多取一位数。
3 =1.71+(5/1.71²-1.71)1/3=1.709.
4, =1.709+(5/1.709²-1.709)1/3=1.7099,这种方法可以自动调节,第一步与第三步取值偏大,但是计算出来以后输出值会自动转小;第二步,第四步输入值偏小,输出值自动转大,即5=1.7099³。当然初始值 也可以取1.1, 1.2, 1.3, ... 1.8, 1.9中的任何一个,都是 。当然,我们在实际中初始值最好采用中间值,即1.5:1.5+(5/1.5²-1.5)1/3=1.7。
每一步多取一位数。计算次数与计算精确度成为正比。这个方法又叫反馈开方,即使你输入一个错误的数值,也没有关系,输出值会自动调节,接近准确值。
参考文献
编辑【从牛顿二项式定理开方到牛顿切线法】《数学传播》136期。