分析力学/牛顿运动定律的抽象化

牛顿力学大量使用矢量与几何作为描述工具，故其又称矢量力学. 牛顿力学的规律在三维欧氏空间内成立，方程是笛卡尔坐标的形式. 而分析力学是高度抽象化的力学，它在任意的非欧空间（流形）上也成立. 本节中的数学推理过程并不严谨，仅为使读者的思维更好地从牛顿力学过渡至分析力学而设.

单质点的牛顿第二定律表达式为

${\boldsymbol {F}}={\dot {\boldsymbol {p}}}$

${\boldsymbol {F}}$为空间上仅关于坐标 ${\boldsymbol {r}}$的场，而 ${\boldsymbol {r}}$是仅关于 $t$的函数，则上式变为

${\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {r}}(t))=m{\ddot {\boldsymbol {r}}}(t)$

为方便表示，下文中将省略场和空间坐标后的参数.

对保守力而言，${\boldsymbol {F}}$可以表示为一标量场 $U$的负梯度，即

${\begin{aligned}{\boldsymbol {F}}&=-\nabla U\\&=-\left({\partial U \over \partial x}{\boldsymbol {e}}_{x}+{\partial U \over \partial y}{\boldsymbol {e}}_{y}+{\partial U \over \partial z}{\boldsymbol {e}}_{z}\right)\end{aligned}}$

场 $U$称为质点的势能.

定义质点的动能为 $T={1 \over 2}m{\boldsymbol {\dot {r}}}^{2}$, 则有

${\begin{aligned}m{\boldsymbol {\dot {r}}}&={\partial T \over \partial {\boldsymbol {\dot {r}}}}\\&={\partial T \over \partial {\dot {x}}}{\boldsymbol {e}}_{x}+{\partial T \over \partial {\dot {y}}}{\boldsymbol {e}}_{y}+{\partial T \over \partial {\dot {z}}}{\boldsymbol {e}}_{z}\end{aligned}}$

把三维欧氏空间内的矢量 ${\boldsymbol {r}}$拆分为三个独立的分量 $x,y,z$. 讨论 $x$分量，则有

$F_{x}=m{\ddot {x}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}(m{\dot {x}})$

代入 ${\boldsymbol {F}}$与 $m{\boldsymbol {\dot {r}}}$的表达式，则上述方程变为

$-{\partial U \over \partial x}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial T \over \partial {\dot {x}}}$

$y,z$分量亦同理. 记 $x,y,z$为 $q_{1},q_{2},q_{3}$，则相应方程组可记为

$-{\partial U \over \partial q_{i}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial T \over \partial {\dot {q_{i}}}}$

若能找到一个和动能、势能有关的函数 $f(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{i},{\dot {q_{1}}},{\dot {q_{2}}},\cdots ,{\dot {q_{i}}},t)$，它在对 $q_{i}$微分时等同于势能、在对 ${\dot {q_{i}}}$微分时等同于动能，则上述方程中的 $T$与 $U$皆可替换为 $f$. 三维欧氏空间中最显然的一个选择是 $f=E=T+U$，即

$-{\partial E \over \partial q_{i}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial E \over \partial {\dot {q_{i}}}}$

但是，在分析力学中，我们采用的是 $f=T-U$，并记函数 $f$为 $L$，上述方程就变得与数学上的欧拉方程具有相同形式了：

${\partial L \over \partial q_{i}}={\operatorname {d} \! \over \operatorname {d} \!t}{\partial L \over \partial {\dot {q_{i}}}}$

$L$ 被称为拉格朗日量.

至此，我们得到了一组抽象的、纯代数的、不需要用矢量来表达的运动方程，它在三维欧氏空间中与牛顿第二定律等价. 经验证，这个方程可以直接推广至任意维度非欧空间，它甚至还可以用于量子力学和相对论力学，只需定义合适的拉格朗日量 $L$即可（$L=T-U$仅在欧氏空间内成立）。即使是在欧氏空间，$q_{i}$也不必是笛卡尔坐标，而可以是极坐标中的角、模量等。这是牛顿第二定律 ${\boldsymbol {F}}={\dot {\boldsymbol {p}}}$所无法做到的.