位移、速度与加速度

概述

位移-时间图

三个质点从坐标原点以相同的速度出发，由于分别拥有正、零、负的加速度而导致其位置和关于时间的曲线。原公式分别为：

绿线:s(t)=t²+t，加速度 a 与初速同方向，时间越往后，每单位时间所进行的位移越大。
蓝线:s(t)=t，加速度 a 为 0 ，任可时间其每单位时间的位移皆不变，即速度皆不变。
红线:s(t)=-0.13*t²+t，加速度 a 与初速相反方向，加速度会逐渐抵消掉初速，直到速度为 0 ，然后加速度会使质点的运动回头，时间越往后回头的速度越快，每单位时间“负向”位移越大。

蓝线的几何图形是直线，绿线和红线的几何图形是抛物线。绿线的最高次项系数为正值，所以右侧向上；红线的最高次项系数为负值，所以右侧向下。

定义

加入方向考虑之后，如何从一段运动轨迹得到加速度。

位移：物体位置的变化，包含零位移。
速度：物体在单位时间内的位移。即位移对时间的微分。速度包含大小和方向两个元素。其中“大小”叫做“速率”。但速度与“位置”无关，等速运动中，不管位置在哪里，其速度不变，都是同一个值，因为其大小和方向皆相同。
加速度：物体在单位时间内速度的变化。即速度对时间的微分。加速度也包含大小和方向两个元素，也与位置无关。

右图中绿线是运动的轨迹，蓝线及箭头(S₁、S₂、S₃…)代表每单位时间位移的向量。由小图中可以看到 v₁=S₁/Δt , v₂=S₂/Δt ，而加速度 a₁=v₂-v₁/Δt 。

位移、速度与加速度是用来解释微积分极好的工具，因为：

	三者在微积分上阶层简明：位移的微分得到速度，速度的微分得到加速度；而加速度的积分得到速度变化量，速度的积分得到位移。三者用多项式就能表达。

圆周运动

图一:圆周运动切线速度与向心加速度示意图

右图红色向量代表切线速度，不同瞬间，速率相等，速度不等(方向不同)。

蓝色向量代表向心加速度，不同瞬间，加速度大小相等但方向不等。

注意，右图中蓝色向量的向心加速度标示过大，需要修改，真正的大小以图二较为准确。

a,v,r 之间的大小关系

图二:圆周运动 a,v,r 关系图

$a={\frac {v_{2}-v_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {v}}{\Delta {t}}}$ ，必须与 $r_{1}$ 平行且是 $r_{1}$ 顺时钟转180度
$v={\frac {r_{2}-r_{1}}{\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}$
求出 $a={\frac {v^{2}}{r}}$ 或 $ar=v^{2}$

证明：

图二中右方与左方三角形相似

{\frac {\Delta {v}}{v}}={\frac {\Delta {r}}{r}}

=>

两边分母同乘

\Delta {t}\quad {\frac {\Delta {v}}{v*\Delta {t}}}={\frac {\Delta {r}}{r*\Delta {t}}}

=>

{\frac {1}{v}}*{\frac {\Delta {v}}{\Delta {t}}}={\frac {1}{r}}*{\frac {\Delta {r}}{\Delta {t}}}

=>

{\frac {1}{v}}*a={\frac {1}{r}}*v

=>

a={\frac {v^{2}}{r}}

圆周运动的动力过程

	有一个速度向量使运动轨迹直线前进
	加上与其垂直的加速度向量，因为加速度与原速度方向垂直，所以无法增加或抵消原速度的大小，只能改变其方向
	加速度将轨迹拉弯
	反复上述的过程将得到一个圆周运动的轨迹

速度相加

A 在月台，看 B 在列车上，站在 A 的观点：列车及 B 以速度 u 对他进行等速相对运动； B 在车上射出一发子弹(或光束)，此子弹(或光束)对 B 的相对速度为 v ，则此子弹(或光束)对 A 的相对速度为 ${\frac {u+v}{1+{\frac {u\times v}{c^{2}}}}}$ 或 ${\frac {u+v}{1+{\frac {u}{c}}\times {\frac {v}{c}}}}$ ，此公式特性如下：

当 v 为 c 时，相加后的速度为 c 。也就是光束的速度不管从 A 或 B 的观点来看都是 c 。
速度相加后永远小于等于 c 。
当 u 、 v 都比 c 小很多时，相加后的速度趋近于 u+v 。

加速度与位移的关系

复习乘法公式

证明： $a$ 为常数，当位移-时间关系为 $s={\frac {1}{2}}at^{2}$ 时，速度为 $at$ (此时称为等加速度运动)

$s$ 代表不同时间物体的位置，和时间有以下关系： $s={\frac {1}{2}}at^{2}$ 即

$s(t)={\frac {1}{2}}at^{2}$
稍早时间 $t$ 的位置为 $s_{1}={\frac {1}{2}}at^{2}$
稍晚时间 $t+\Delta t$ 的位置为 $s_{2}={\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2}$
在经过很短时间 $\Delta t$ 的位置改变为 $\Delta s=s_{2}-s_{1}$
$v={\frac {\Delta s}{\Delta t}}={\frac {s_{2}-s_{1}}{\Delta t}}={\frac {{\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2}-{\frac {1}{2}}at^{2}}{\Delta t}}={\frac {{\frac {1}{2}}a(t^{2}+2t\Delta t+\Delta t^{2})-{\frac {1}{2}}at^{2}}{\Delta t}}$
$={\frac {{\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+\Delta t^{2})}{\Delta t}}={\frac {at\Delta t+{\frac {1}{2}}a(\Delta t)^{2}}{\Delta t}}={\frac {at\Delta t}{\Delta t}}+{\frac {{\frac {1}{2}}a(\Delta t)(\Delta t)}{\Delta t}}=at+{\frac {1}{2}}a\Delta t$

$\because {\frac {1}{2}}a\Delta t\to 0\therefore v=at$

切线斜率、微分、导数

设 $y=f(x)$ ，则函式 $f$ 在 $a$ 点切线斜率、微分、导数、 $f'(a)$ 、 ${\frac {dy}{dx}}$ 、 ${\frac {df(x)}{dx}}$ 、( ${\frac {\Delta f(x)}{\Delta x}}$ )、 $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}}$ 都代表同一个意思。