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三角形

定义

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不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形(小学-初中)；也叫三边形。

两平行线为一线所截(用于证明三角形内角和为180°)

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图一
  • 对顶角相等，如图一，∠2=∠4、∠6=∠8
  • 同位角相等，∠α=∠β
  • 内错角相等，∠α=∠β
  • 同侧内角互补，如图一，∠4+∠5=180°，∠3+∠6=180°
    证明：
    ∵∠5+∠6=180°(平角)，∠4=∠6(内错角)
    ∴∠4+∠5=180°。同理∠3+∠6=180°

性质

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  1. 三角形的两邻边之和大于第三边，三角形的两邻边之差小于第三边。
    如图，△ABC三边为a,b,c
    ∵直线是以两点间最短的距离，∴
    a+b>c,b+c>a,c+a>b 运用移项法则 得到
    c-a<b,c-b<a,a-b<c,
    a-c<b,b-c<a,b-a<b    		 
  2. 三角形三个内角之和等于180°。
    如图，过C作AB的平行线，得EC
    AB、EC两平行线，为AC所截
    ∠b=∠e(同位角相等)
    ∠a=∠d(内错角相等)
    ∵∠c+∠e+∠d=180°(平角)∴∠a+∠b+∠c=180°
    得证△ABC三个内角加起来是180°    		 
  3. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和。
    设图中的未标示内角为γ'
    ∠α+∠β+∠γ'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°(平角)
    180°−∠γ=∠γ'
    ∠α+∠β=∠γ    		 
  4. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
    ∵△外角等于两远内角之和，全体大于部分，∴外角大于任一远内角。
  5. 三角形的三外角之和是360°。
    ∠α+∠α'=180°
    ∠β+∠β'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°
    三式相加得：
    ∠α+∠β+∠γ+∠α'+∠β'+∠γ'=540°
    ∠α+∠β+∠γ=180°
    ∠α'+∠β'+∠γ'=540°−180°=360°    		 
  6. 同底等高的两个三角形面积相等。
    ∵△面积=½底×高，∴同底等高的△面积皆相等。如图
  7. 三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
    如图，任一△的中线将原△分为红蓝两个小△，
    ∵红部分与蓝部分之底相同(中线定义)，
    高相同(顶点到底边只能作一条垂线)，
    ∴红、蓝两部分两个△面积相同。    		 

全等三角形

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定义：经过平移、旋转或镜射之后，能够完全重合的两个三角形。

性质：

  1. 对应角相等。
  2. 对应边相等。
  3. 面积相等。
  4. 周长相等。

重合

  1. 角相等则角之两边重合。
  2. 线段等长，则对应之两端点重合，线段也重合。

三角形共有三边与三角，两个三角形各有六个边、角，取三组边或角相等共得到八种情形，可归纳为六种情形(SSA和ASS等价，AAS和SAA等价)。其中四种情形全等：

  1. SAS
  2. RHS
  3. SSS
  4. ASA
  5. AAS

一种情形ASS，又包含：

  • A为直角则两三角形全等，称为RHS
  • A为钝角则两三角形全等，没有特别的名称
  • A为锐角则三角形有两种不同的形状，不会全等

一种情形AAA代表两三角形相似。

相关图库

以下讨论全等条件，并简单证明之：

SAS(边角边)

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有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。

 

已知△ΑΒΓ与△ΔΕΖ，∠Α=∠Δ、ΑΒ=ΔΕ、ΑΓ=ΔΖ

移动△ΔΕΖ使
Α点与Δ点重合，且∠Α与∠Δ两边重合(两角相等使两边重合)
则Β点将与Ε点重合(线段等长两端点重合)
同理Γ点将与Ζ点重合(线段等长两端点重合)
∴两△三顶点重合，两△三边重合，∴△ΑΒΓ≅△ΔΕΖ

等腰三角形两底角相等

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△ACB≅△BCA(SAS) 

RHS(直角股斜边)

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在两个直角三角形中，斜边及一直角边对应相等，那么这两个三角形全等。

 
如图依据毕氏定理：斜边2−高2 = 另一高2
左、右两个直角△，斜边及一高对应相等，另一高亦会对应相等
两个直角相等，依据SAS，左右两个△全等。

SSS(边边边)

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三组对应边分别相等的两个三角形全等。

 

已知△ΑΒΓ与△ΔΕΖ，ΑΒ=ΔΕ、ΑΓ=ΔΖ、ΒΓ=ΕΖ

翻转△ΑΒΓ并使ΒΓ与ΕΖ重合(两线段相等)，且Α的位置移动到Η的位置。
△ΔΕΗ为等腰△(已知)，两底角相等
△ΔΖΗ为等腰△(已知)，两底角相等
∠ΕΔΖ=∠ΕΗΖ，∴△ΕΔΖ≅△ΕΗΖ(SAS)
而△ΕΗΖ是△ΑΒΓ移动并镜射而来的，∴△ΕΔΖ≅△ΒΑΓ

ASA(角边角)

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有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。

 

已知△ΑΒΓ与△ΔΕΖ，∠Β=∠Ε、∠Γ=∠Ζ、ΒΓ=ΕΖ

假定△ΑΒΓ与△ΔΕΖ不全等，移动△ΔΕΖ使ΒΓ与ΕΖ重合(等长)
∵∠Β=∠Ε所以Δ必落在ΑΒ线上，Α点之外的另一点Η上。
连接ΗΓ，得到∠ΗΓΒ≠∠ΑΓΒ，与已知矛盾
△ΑΒΓ必须≅△ΔΕΖ，才不致于发生矛盾

AAS(角角边)

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  • 有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等。
 
∵△的三角相加必等于180°，
∴若是已确定两个角之度数，第三角之度数也必确立。
此时三角形之相等部分为AASA，已知ASA满足全等条件，故为AAS也为全等。

ASS之讨论

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A为直角或钝角

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两△全等

A为锐角

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△只有两种可能，并不全等。

平行四边形

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定义：四边形两组对边平行

性质：

  1. 两组对边平行且相等；
  2. 两组对角大小相等；
  3. 相邻的两个角互补；
  4. 对角线互相平分；
  5. 对于平面上任何一点，都存在一条能将平行四边形平分为两个面积相等图形、并穿过该点的线；
  6. 四边边长的平方和等于两条对角线的平方和。

中点定理和截线定理

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中点定理：三角形两边中点连线平行于第三边，且等于第三边长的一半。

截线定理：三角形过一边中点对底边作平行线，平分对边。

特殊三角形

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定义

  1. 等边三角形(正三角形)：三边都相等的三角形。
  2. 等腰三角形：有两边相等的三角形。
  3. 直角三角形：有一个直角的三角形。
    • 特殊直角三角形：对剖正方形，对剖正三角形

性质

  1. 等边三角形的三边相等，且三个角都为60°。
  2. 等腰三角形的“三线”（高、中线、角平分线）合一。
  3. 等腰三角形的两个底角都相等。
  4. 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
  5. 在直角三角形中，如果有一个角为30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
  6. 直角三角形的两个锐角互余。
  7. 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定

  1. 直角三角形。
    • 有一个角是直角的三角形是直角三角形。
    • 两锐角互余的三角形是直角三角形。
    • 在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
  2. 等腰三角形。
    • 有两边相等的三角形是等腰三角形。
    • 有两个角相等的三角形是等腰三角形。
  3. 等边三角形。
    • 三条边都相等的三角形是等边三角形。
    • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
    • 有两边相等，且其中一角为60°的三角形是等边三角形。
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