高中物理/力與運動/动量守恒定律

动量守恒定律

在相互作用的若干个物体（至少有两个物体）的一个系统中，如果一个系统不受外力或者矢量和为零，则该系统的总动量保持不变。

公式： $p=p'$ （通式）
$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v1'+m_{2}v_{2}'$ (在一维空间内的两物体）

PS：外力：Eg：拉力，电场力等

PS2：矢量和为零：eg：在一个只受重力和向上的弹力的二力平衡的物体上，重力和弹力矢量和为零。

牛顿第三定律与动量守恒定律

牛顿第三定律说，假设有两个相互作用的质点，质量可能不同，它们之间的相互作用力的大小相等，方向相反，在同一直线上。现在我们假设这两个质点只存在质点间的相互作用，由于作用力等于动量随时间的变化量，所以质点1受到质点2的作用力 ${\vec {F}}_{21}$ 与质点1的动量 ${\vec {p}}_{1}$ 的关系为：

${\vec {F}}_{21}=\lim _{\Delta \to 0}{\dfrac {\Delta {\vec {p}}_{1}}{\Delta t}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{1}}{dt}}$

同理，质点2受到质点1的作用力 ${\vec {F}}_{12}$ 与质点2的动量 ${\vec {p}}_{2}$ 的关系为：

${\vec {F}}_{12}=\lim _{\Delta \to 0}{\dfrac {\Delta {\vec {p}}_{2}}{\Delta t}}={\dfrac {d{\vec {p}}_{2}}{dt}}$

由于 ${\vec {F}}_{21}=-{\vec {F}}_{12}$ ，则有

${\dfrac {d{\vec {p}}_{1}}{dt}}=-{\dfrac {d{\vec {p}}_{2}}{dt}}$

即

${\dfrac {d({\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2})}{dt}}=0$

也就是说， ${\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}$ 不随时间变化，是一个定值，即

${\vec {p}}_{1t}+{\vec {p}}_{2t}={\vec {p}}_{10}+{\vec {p}}_{20}$

如果将上述结论推广到多个相互作用的质点系，那么在没有来自系统外的外力或者系统所受合外力为零时，所有质点的总动量不变，这称为动量守恒定律（Law of Conservation of Momentum）

动量守恒的内涵

动量守恒定律与牛顿运动定律在经典力学中是密切相关的，它们从不同角度反映了运动物体的相互作用的规律。牛顿定律从相互作用力的角度进行表述，动量守恒定律则从物体间相互作用时发生“运动量”的转移来表述。以两个物体组成的系统为例，当系统所受外力的矢量和恒为零时，动量守恒定律给出 $m_{1}v_{1t}+m_{2}v_{2t}=m_{1}v_{10}+m_{2}v_{20}$ ，前式可改写为 $m_{1}v_{1t}-m_{1}v_{10}=-(m_{2}v_{2t}-m_{2}v_{20})$ 。这表明，由于物体间相互作用力（物体系的内力）的存在引起动量的传递，一个物体动量的增加量一定等于另一个物体动量的减少量，系统的总动量守恒。如果从力的观点看，这是由于两物体间的相互作用力互为作用力和反作用力，它们的大小相等、方向相反，且同时存在和消失，因而它们的冲量等值反向，导致双方的动量变化等值反号。从这里可以看出，内力虽不能使物体系的总动量发生变化，确实决定系统内各物体动量变化的重要因素。
动量守恒的条件是外力的矢量和（即合外力）恒为零，在此条件下在任何时间间隔内外力的冲量的矢量和必为零，在任何时间间隔内物体系动量的变化量为零。不能把动量守恒的条件理解成“外力的冲量的矢量和为零”。冲量是与力的作用时间相关联的物理量，在某个持续一段时间的过程中某物体系所受的冲量和（矢量和）可能等于零，因而物体系在此过程开始时刻的动量与终了时刻的动量相等，但在过程进行中各个时刻的动量可能在变化而并非保持不变，因而不能说动量守恒。
动量守恒定律所表述的是一个矢量关系。物体系中每个物体的动量不为零时，它们的矢量和可以等于零。例如，一颗静止于空中的炸弹被引爆后，弹片向四面八方飞出，在忽略重力和空气阻力时（在打击、碰撞和爆炸等过程中出现的冲击力比重力、空气阻力等大得多，所以后者可忽略不计），在爆炸过程中没有外力，动量守恒，炸弹初动量为零，因而有 $0=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}m_{i}{\vec {v}}_{i}$ 。右方为各炸弹碎片动量之和，显然各碎片的动量不等于零，但它们之和为零。动量守恒，就是它的大小和方向都不变，因而动量在各方向的分量也保持恒定。如在三维直角坐标系中，动量守恒定律可表为 $\displaystyle {\begin{cases}\sum m_{i}{\vec {v}}_{ix}=const\\\sum m_{i}{\vec {v}}_{iy}=const\\\sum m_{i}{\vec {v}}_{iz}=const\end{cases}}$ 。特别应该注意的是，这些分量守恒的公式还有其独立的意义。如果外力之和不等于零，这时物体系的动量本应不守恒，但若外力沿某一方向的分量的代数和为零，则沿该方向的分动量仍守恒。
动量的大小与参考系的选择有关，那么动量守恒定律成立与是否与参考系有什么关系？我们知道，牛顿定律在一切惯性参考系中都成立，而且由牛顿定律可以推导出动量守恒定律，所以动量守恒定律在一切惯性参考系中都是成立的。不过，在运用动量守恒定律处理问题时，涉及的各物体的速度都必须时相对于同一惯性系的速度。
动量守恒定律成立的条件是合外力为零，也就是说这个质点系是个没有外界作用的孤立系统。但现实世界中没有严格意义上的孤立系统，所以在处理实际问题时，若内力远大于外力，即使系统受到的合外力不为零，我们仍可以把它当做合外力为零处理，动量守恒定律成立。例如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似守恒。
动量守恒定律不仅适用于低速运动的宏观物体，而且适用于接近光速运动的微观粒子的相互作用。例如在牛顿定律不完全适用的领域内，如量子力学、相对论、甚至于有动量而无静质量的电磁场系统，动量守恒同样成立。因此，一般认为动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。

正碰撞

完全弹性碰撞

设质量分别为 $m_{1},m_{2}$ 的两个平动物体（不妨设为两个平动的小球），碰前速度分别为 $u_{1},u_{2}$ ，碰后速度为 $v_{1},v_{2}$ 。两物体的碰撞通常在极其短暂的时间内完成，相互作用极其猛烈。在碰撞过程中，或无外力作用，或受到有限大小的外力作用，但因作用时间极短，有限外力的冲量可以忽略不计，体系动量守恒。

如果碰前两小球速度 $u_{1},u_{2}$ 沿两球中心的连线，这种碰撞称为正碰撞。在碰撞情况下，碰后两小球的运动速度方向仍沿连线方向。在正碰撞时，小球的速度只需用代数值表示其大小和方向。在碰撞的短时间 $\Delta t$ 内，两小球首先相互接触，接着相互挤压，两球分别产生形变和试图回复形变的力，在 $u_{1}>u_{2}$ 的阶段中， $u_{1}$ 减小， $u_{2}$ 增大，直至变为同一速度 $w$ ，达到最大压缩状态，这个阶段称为压缩阶段。随后，由于两小球形变逐渐恢复， $m_{1}$ 速度继续减小， $m_{2}$ 速度继续增大，两小球速度分别达到 $v_{1},v_{2}$ 后相互分离，这个阶段称为恢复阶段。

两小球碰撞过程动量守恒，有方程

$m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\quad (1)$

如果碰撞是弹性的，还有动能守恒方程

${\dfrac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\dfrac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\dfrac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\dfrac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\quad (2)$

联立(1)(2)解得

${\begin{cases}\displaystyle v_{1}={\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}+{\dfrac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\\v_{2}={\dfrac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}u_{1}-{\dfrac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}u_{2}\end{cases}}$

需要注意的是，原方程式二次方程，应该有两个解，但另一组解就是初始值，应该舍去。当然，如果我们反过来思考，两个物体初速度为 $v_{1},v_{2}$ ，也能解得两个物体末速度为 $u_{1},u_{2}$ 。由此，得出结论：完全弹性正碰撞是一种可逆碰撞。

我们也可以通过将原方程化简，过程中自动舍去了这一组解。将原方程组化成

$\displaystyle {\begin{cases}m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})\quad (3)\\m_{1}(u_{1}^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}(v_{2}^{2}-u_{2}^{2})\quad (4)\end{cases}}$

(4)/(3)得

$u_{1}-u_{2}=v_{2}-v_{1}\quad (5)$

即碰前接近速度等于碰后分离速度。所以我们也常常联立(1)(5)来解分离后速度 $u_{1},u_{2}$ 。

若 $m_{1}=m_{2}$ ，则 $v_{1}=u_{2},v_{2}=u_{1}$ ，即弹性正碰中，两质量相等的求碰撞后彼此交换速度。

在被加速了的粒子对靶粒子的实验中，常常认为靶粒子是静止不动的，即 $u_{2}=0$ 。在这种情况下有重要结论：

当 $m_{1}>m_{2}$ 时， $v_{1}>0$ ，入射粒子碰后仍向前运动。极限情形下，即 $m_{1}\gg m_{2}$ 时， $v_{1}\approx u_{1},v_{2}\approx 2u_{1}$ ，击打球几乎保持碰前速度前进，而原静止小球以两倍于打球的速度前进。
当 $m_{1}<m_{2}$ 时， $v_{1}<0$ ，入射粒子碰后反向运动。极限情形下，即 $m_{1}\gg m_{2}$ 时， $v_{1}\approx -u_{1},v_{2}\approx 0$ ，即碰后被打球几乎不动个，小球以与碰前相等的速率返回。
当 $m_{1}=m_{2}$ 时， $v_{1}=0,v_{2}=u_{1}$ ，即两球交换速度。

类弹性碰撞问题

碰撞的特征是相互作用时间短暂，作用力大。然而在有些物理问题中，两物体相互靠近，之后又逐渐远离的现象。当物体构成系统所受合外力为零时，我们也可以把这类问题当做相互作用时间较长的碰撞问题，我们把这种问题叫做类碰撞问题。

例子：

光滑水平面上的A物体以速度v去撞击静止的B物体，A、B两物体相聚最近时，两物体的速度必定相等，此时弹簧最短，其压缩量最大。
质量为M的滑块静止在光滑水平面上，滑块的光滑弧面底部与桌面相切，一个质量为m的小球以速度 $v_{0}$ 向滑块滚来。设小球不能越过滑块，则小球到达滑块上的最高点时（即小球竖直方向上速度分量为零），两物体速度相等，方向均水平向右。