高中数学/预备知识/集合

集合

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基本概念
把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合(英语:set),集合常用大写字母表示;集合里的各个对象叫做集合的元素,通常用小写字母表示。
集合元素的性质:
  1. 确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素,没有确定性就不能成为集合,例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
  2. 互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1,1,2},等同于{1,2}。互异性使集合中的元素是没有重复,两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素。
  3. 无序性:{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。


相互关系

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元素与集合的关系:
元素与集合的关系有“属于”( )和“不属于”( )两种。
集合与集合之间的关系:
某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
  • 含有有限个元素叫有限集;
  • 含有无限个元素叫无限集;
  • 不含任何元素的集叫“空集”,记做“ ”,
    空集是任何集合的子集,
    空集是任何非空集的真子集;
  • 任何集合是它本身的子集
  • 子集,真子集都具有传递性。

集合的表示

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集合的表示方法
集合常用大写拉丁字母来表示,如:A,B,C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示,如:a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字,没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的,例如: 的形式。等号左边是大写的拉丁字母,右边花括号括起来的,括号内部是具有某种 共同性质的数学元素。
有多种方法表示集合,其中常用的有列举法和描述法:
  1. 列举法:常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1,2,3,……}
  2. 描述法:常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。  为该集合的元素的一般形式, 为这个集合的元素的共同属性)如:小于 的正实数组成的集合表示为: 
  3. 图式法(Venn图):为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个集合。
  4. 自然语言
特殊集合的表示
  1. 全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作 
  2. 非负整数集内排除0的集,也称正整数集,记作  
  3. 全体整数的集合通常称作整数集,记作 
  4. 全体有理数的集合通常简称有理数集,记作 
     
  5. 全体实数的集合通常简称实数集,记作 
  6. 复数集合记作 

运算与法则

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集合的三种运算法则
  • 并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集),记作 (或 ),读作“A并B”(或“B并A”),即 
  • 交集:以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集),记作 (或 ),读作“A交B”(或“B交A”),即 
  • 补集:是从差集中引出的概念,指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集,记作 ,即 
  • 在研究集合时,会遇到有关集合中的元素个数问题,我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如 ,则card(A)=3
    • card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
    • card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)
  • 集合吸收律:
     
     
  • 集合求补律:
     
     
  • 设A为集合,把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集
    德摩根律