高中数学/向量与复数/向量的点积与夹角

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向量的数量积公式提供了一种不必依赖几何直观、完全代数化的推广角度定义的方式，这允许我们可以在高维空间和无穷维空间（例如希尔伯特空间）中同样定义出夹角的概念，从而减少我们对某些陌生的抽象空间的理解难度。

基础知识

知识引入

在经典物理学中，物体在大小为F的恒定外力作用下，沿F所在的直线移动了距离S，则此力F所做的功（即传递的能量）等于FS；当物体沿与F呈$\theta$角的直线移动了距离S，则此力F所做的功（即传递的能量）等于$FS\cdot \cos \theta$。如果将力与位移都写作向量，则其做功W的公式可以写作$W=|{\vec {F}}||{\vec {S}}|\cdot \cos \theta$。从几何角度来看，功可以看作是力在位移方向上的投影大小与位移大小的乘积，也可以看作是位移在力方向上的投影大小与力的大小的乘积。反过来，如果已知所作的功，那么力的大小、位移大小、夹角大小可以相互推算。实验经验告诉我们，这种计算对于二维平面和三维空间都是普遍适用的。我们不论在什么样的平直空间中，当知道功、力的大小、位移的大小后，都可以立即反推出夹角大小、投影长度。

物理学者为了便于研究做功与能量的计算，就发明了向量这一类同时具有方向和大小的量；与此同时，数学家为了便于求解某些涉及角度和投影的问题，也将其作为重要辅助工具引入数学。

数量积与投影

一般地，如果2个非零向量${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角为$\theta$，我们把由$|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$算出的纯量结果叫做${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的数量乘积（scalar product）或标量积或点乘积（dot product）或内部乘积（简称内积，inner product）。

规定零向量与任何向量的数量积为0，非零向量夹角的范围为$[0,\pi ]$。

根据以上定义，我们可以得知：

• 数量积是由2个向量得到1个纯量的运算，其结果同时取决于2个向量的大小和它们的夹角。当夹角为锐角时，结果为正数；当夹角为直角时，结果为0；当夹角为钝角时，结果为负数。
• 由于${\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}||{\vec {a}}|\cos 0=|{\vec {a}}|^{2}$，即一个非零向量与自身的数量积等于其模的平方。

提示：我们没有规定过零向量与非零向量的夹角，但是我们规定了零向量与任意向量的内积一定是0。

再介绍一些需要知道的记号规则：

• $|{\vec {a}}|^{2}$常常被简单地记为${\vec {a}}^{2}$。即有$|{\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}|={\vec {AB}}^{2}=|{\vec {AB}}|^{2}=|AB|^{2}$。
• 在不引起混淆时，有的资料会将向量${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角记为$<{\vec {a}},{\vec {b}}>$。

如果2个非零向量${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角为$\theta$，则数量$|{\vec {a}}|\cos \theta$称为向量${\vec {a}}$在${\vec {b}}$方向（或所在直线）上的（正）投影（projection）。从向量投影的角度可以看出数量积的几何意义为${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$等于其中一个向量${\vec {a}}$的模$|{\vec {a}}|$与另一个向量${\vec {b}}$在${\vec {a}}$方向上的投影值$|{\vec {b}}|\cos \theta$的乘积。

提示：(1)数量积和投影的计算结果都是纯数值，不是向量。(2)有的教材会根据需要定义计算结果为向量的向量投影（vector projection）和计算结果为标量的纯量投影（scalar projection），其中向量投影有专门的符号$proj_{\vec {b}}{\vec {a}}$表示${\vec {a}}$在${\vec {b}}$方向上的投影向量。就这种划分而言，高中所学的投影主要指其中的纯量投影。

向量的数量积有以下的常用运算律：

• ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}$
• $(\lambda {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot (\lambda {\vec {a}})=\lambda ({\vec {b}}\cdot {\vec {a}})$
• $({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\quad (\lambda \in \mathbb {R} )$

提示：向量的数量积是对称性运算，即交换2个运算元的顺序后结果不变。投影则不是对称性运算，即向量甲在向量乙方向上的投影一般不等于向量乙在向量甲方向上的投影。

向量兼具几何与代数特性，利用向量可以解决许多同时涉及距离和夹角的问题。

相关例题1： 已知$|{\vec {a}}|=4,|{\vec {b}}|=5$，对于下列几种情况，分别求${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的数量积：

(1) ${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$；

(2) ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}$；

(3) ${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角大小为$30^{\circ }$。

相关例题2： 已知${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$是3个非零向量，则下列命题中正确的有(    )。

A. $|{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}$

B. ${\vec {a}}$与${\vec {b}}$反向$\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=-|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|$

C. ${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}+{\vec {b}}|=|{\vec {a}}-{\vec {b}}|$

D. $|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|\quad \Leftrightarrow \quad |{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}|=|{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}|$

相关例题3： 已知空间中4个点A、B、C、D满足$|{\vec {AB}}|=3,|{\vec {BC}}|=7,|{\vec {CD}}|=11,|{\vec {DA}}|=9$，求${\vec {AC}}\cdot {\vec {BD}}$的取值有多少个？

相关例题4： 已知${\vec {a}}$和${\vec {b}}$都是非零向量，并且$({\vec {a}}+3{\vec {b}})\perp (7{\vec {a}}-5{\vec {b}}),({\vec {a}}-4{\vec {b}})\perp (7{\vec {a}}-2{\vec {b}})$，求${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角大小。

相关例题5： 在凸四边形ABCD中，P和Q分别为对角线BD和AC的中点，求证：$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|DA|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4|PQ|^{2}$。

相关例题6： 在平行四边形ABCD中，记${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {BC}},{\vec {c}}={\vec {CD}},{\vec {d}}={\vec {DA}},{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}={\vec {c}}\cdot {\vec {d}}={\vec {d}}\cdot {\vec {a}}$，判断四边形ABCD的形状。

相关例题7： 已知非零向量${\vec {a}}$和${\vec {b}}$的夹角大小为$60^{\circ },({\vec {a}}+3{\vec {b}})\perp (7{\vec {a}}-5{\vec {b}})$，求证：(${\vec {a}}-4{\vec {b}})\perp (7{\vec {a}}-2{\vec {b}})$。

相关例题8： 已知${\vec {i}},{\vec {j}}$是相互垂直的单位向量，${\vec {a}}+{\vec {b}}=2{\vec {i}}-8{\vec {j}},{\vec {a}}-{\vec {b}}=-8{\vec {i}}+16{\vec {j}}$，求${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$。

相关例题9： 已知在平行四边形ABCD中，O是对角线交点，${\vec {AB}}={\vec {a}},{\vec {AD=b}},|{\vec {a}}|=4,|{\vec {b}}|=2$，试用包含${\vec {a}}$和${\vec {b}}$的代数式表示${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}$。

相关例题10： 已知$|{\vec {a}}|=6,|{\vec {b}}|=10,|{\vec {a}}-{\vec {b}}|=4{\sqrt {6}}$，求${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角大小$\theta$的余弦值。

相关例题11： 已知${\vec {a}}\perp {\vec {b}},|{\vec {a}}|=2,|{\vec {b}}|=3,(3{\vec {a}}-2{\vec {b}})\perp (\lambda {\vec {a}}+{\vec {b}}),\lambda \in \mathbb {R}$，求$\lambda$的值。

相关例题12： 已知${\vec {a}}$和${\vec {b}}$是非共线向量，$|{\vec {a}}|=3,|{\vec {b}}|=2,({\vec {a}}+{\vec {b}})\perp ({\vec {a}}-2{\vec {b}})$，求${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角大小$\theta$的余弦值。

相关例题13： 已知${\vec {a}}$和${\vec {b}}$是非共线向量，$|{\vec {a}}|=3,|{\vec {b}}|=4$。求实数k取何值时，有$({\vec {a}}+k{\vec {b}})\perp ({\vec {a}}-k{\vec {b}})$成立？

相关例题14： 在三角形ABC中，已知${\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}=4,{\vec {AB}}\cdot {\vec {BC}}=-12$，求$|{\vec {AB}}|$的值。

相关例题15： 在三角形ABC中，已知${\vec {AB}}={\vec {a}},{\vec {BC}}={\vec {b}},{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}>0$，判断此三角形的形状。

相关例题16： 已知向量${\vec {a}}=(2,4),{\vec {b}}=(1,1),{\vec {b}}\perp ({\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}),\lambda \in \mathbb {R}$，求$\lambda$的值。

相关例题17： 在四边形ABCD中，已知$|{\vec {AB}}|+|{\vec {BD}}|+|{\vec {DC}}|=4,{\vec {AB}}\cdot {\vec {BD}}={\vec {BD}}\cdot {\vec {DC}}=0,|{\vec {AB}}|\cdot |{\vec {BD}}|+|{\vec {BD}}|\cdot |{\vec {DC}}|=4$，求$|({\vec {AB}}+{\vec {DC}})\cdot {\vec {AC}}|$的值。

相关例题18： 在直角三角形ABC中，已知BC = a，长为2a的线段PQ以点A为中点。求${\vec {PQ}}$与${\vec {BC}}$的夹角大小$\theta$为何值时，${\vec {BP}}\cdot {\vec {CQ}}$的值最大？并求出这个最大值。

相关例题19： 在三角形ABC中，已知a、b、c分别是角A、B、C的对边长，$|{\vec {AB}}|^{2}={\vec {AB}}\cdot {\vec {AC}}+{\vec {BA}}\cdot {\vec {BC}}+{\vec {CA}}\cdot {\vec {CB}}$。判断此三角形的形状，并求$\sin A+\sin B$的取值范围。

相关例题20： 设边长为1的正三角形ABC的边BC上有n等分点。这些分隔点，沿点B到点C的方向，依次为$P_{1},P_{2},\cdots ,P_{n-1}$。若$S_{n}={\vec {AB}}\cdot {\vec {AP_{1}}}+{\vec {AP_{1}}}\cdot {\vec {AP_{2}}}+\cdots +{\vec {AP_{n-1}}}\cdot {\vec {AC}}$，求证：$S_{n}={\frac {11n^{2}-2}{6n}}$。

相关例题21： 在三角形ABC中，${\vec {a}}={\vec {AB}},{\vec {b}}={\vec {CA}},{\vec {c}}={\vec {BC}},({\vec {c}}\cdot {\vec {b}}):({\vec {b}}\cdot {\vec {a}}):({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})=1:2:3$，求三边之比$|{\vec {a}}|:|{\vec {b}}|:|{\vec {c}}|$的值。

相关例题22： 已知${\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}={\vec {0}},({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}):({\vec {b}}\cdot {\vec {c}}):({\vec {c}}\cdot {\vec {a}})=1:{\sqrt {3}}:({\sqrt {3}}-2),|{\vec {a}}|=1$，求$|{\vec {b}}|$和$|{\vec {c}}|$的值。

相关例题23： 若${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$中每2个向量的夹角大小均为$60^{\circ },|{\vec {a}}|=4,|{\vec {b}}|=6,|{\vec {c}}|=2$，求$|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|$的值。

数量积的坐标计算公式

在平面直角坐标系中，向量的标量积有简算公式，即将2个非零向量${\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})$的对应分量相乘，再相加：
${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=(x_{1},y_{1})\cdot (x_{2},y_{2})=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}$

设${\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})$都是非零向量，$\theta$是它们的夹角大小，则根据数量积的定义和坐标表示有：
$\cos \theta ={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{{\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}}$

设${\vec {a}}(x_{1},y_{1}),{\vec {b}}(x_{2},y_{2})$都是非零向量，则它们彼此垂直等价于：
${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}=0$
由此可知，计算2个向量的数量积是否为零也可以用于判断所在直线的垂直关系。

通过计算非零向量与自身的数量积，也可以得到向量长度的坐标计算公式：
${\begin{array}{l}{\vec {AB}}\cdot {\vec {AB}}=(x_{B}-x_{A})(x_{B}-x_{A})+(y_{B}-y_{A})(y_{B}-y_{A})\\\Rightarrow |{\vec {AB}}||{\vec {AB}}|\cos 0=(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}\\\Rightarrow |{\vec {AB}}|^{2}=(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}\\\Rightarrow |{\vec {AB}}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}}}\end{array}}$

向量运算的代数公式小结：

向量运算	2维公式	3维公式
2个向量的加减法	${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{a}\pm x_{b},y_{a}\pm y_{b})$	${\vec {a}}\pm {\vec {b}}=(x_{a}\pm x_{b},y_{a}\pm y_{b},z_{a}\pm z_{b})$
单个向量的数乘	$k{\vec {a}}=(kx,ky)$	$k{\vec {a}}=(kx,ky,kz)$
单个向量的模	$|{\vec {a}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$	$|{\vec {a}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
2个向量的内积	${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}$	${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}$
2个向量的平行 （假设其中的比例式都有意义）	${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x_{b}}{x_{a}}}={\frac {y_{b}}{y_{a}}}$	${\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {x_{b}}{x_{a}}}={\frac {y_{b}}{y_{a}}}={\frac {z_{b}}{z_{a}}}$
2个向量的垂直	${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}=0$	${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\quad \Leftrightarrow \quad x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}=0$
2个向量的夹角计算	$\theta ={\frac {x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}}{{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}}}{\sqrt {x_{b}^{2}+y_{b}^{2}}}}}$	$\theta ={\frac {x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b}}{{\sqrt {x_{a}^{2}+y_{a}^{2}+z_{a}^{2}}}{\sqrt {x_{b}^{2}+y_{b}^{2}+z_{b}^{2}}}}}$

相关例题1： 已知${\vec {a}}=(2,3),{\vec {b}}=(-1,4),{\vec {c}}=(5,6)$，分别求$({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}$和${\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\cdot {\vec {c}})$的值。

相关例题2： 已知2个非零向量满足${\vec {a}}+{\vec {b}}=(2,-8),{\vec {a}}-{\vec {b}}=(-6,-4)$，求${\vec {a}}$与${\vec {b}}$的夹角大小的余弦值。

相关例题3： 已知向量${\vec {i}},{\vec {j}}$为相互垂直的单位向量，$m\in \mathbb {R} ,{\vec {a}}=(m+1){\vec {i}}-3{\vec {j}},{\vec {b}}={\vec {i}}+(m-1){\vec {j}},({\vec {a}}+{\vec {b}})\perp ({\vec {a}}-{\vec {b}})$，求m的值。

相关例题4： 已知O为平面直角坐标系原点，向量${\vec {OA}}=(1,0),{\vec {OB}}=(1,1)$，动点P (x, y)满足$0\leq {\vec {OP}}\cdot {\vec {OA}}\leq 1,0\leq {\vec {OP}}\cdot {\vec {OB}}\leq 2$，求另一个与之相关的点Q (x+y, y)分布的区域的面积。

相关例题5： 在平面直角坐标系中，已知两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$，$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$2x^{2}-2ax+a^{2}-4=0$的2个不相等的实数根，且A、B两点都在直线y = -x + a上。

(1) 求${\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}$的值。

(2) 求当a为何值时，${\vec {OA}}$与${\vec {OB}}$的夹角大小为${\frac {\pi }{3}}$。

相关例题6： 已知${\vec {v_{1}}},{\vec {v_{2}}}$是向量构成的集合$A=\{{\vec {v}}=(x,y)|x^{2}+y^{2}\leq 1\}$中的任意2个向量，且$\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$。求证：向量$\alpha {\vec {v_{1}}}+\beta {\vec {v_{2}}}$的大小不超过$\alpha +\beta$。

相关例题7： 在平面直角坐标系xOy中，已知${\vec {OA}}=(2,0),{\vec {OB}}=(1,{\sqrt {3}})$。将${\vec {BA}}$绕着B点沿逆时针方向旋转$60^{\circ }$，且将模伸长到$|{\vec {BA}}|$的2倍，得到新向量${\vec {BC}}$。求四边形AOBC的面积S。

相关例题8： 已知平面上3个向量${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$均为单位向量，且两两之间的夹角大小均为$120^{\circ }$，$|ka+b+c|>1,k\in \mathbb {R}$。求k的取值范围。

相关例题9： 使用向量工具，求证两角差的余弦公式：$\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。

相关例题10： 使用平面向量工具，求证2元的柯西不等式：$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}$。

相关例题11： 是否存在4个两两不共线的平面向量，使得其中任意2个向量之和均与其余2个向量之和垂直？

相关例题12： 已知向量${\vec {OP_{1}}},{\vec {OP_{2}}},{\vec {OP_{3}}}$满足条件${\vec {OP_{1}}}+{\vec {OP_{2}}}+{\vec {OP_{3}}}=0,|{\vec {OP_{1}}}|=|{\vec {OP_{2}}}|=|{\vec {OP_{3}}}|=1$，求证：三角形$P_{1}P_{2}P_{3}$是正三角形。

相关例题13： 在三角形ABC中，已知${\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {BC}}}{3}}={\frac {{\vec {BC}}\cdot {\vec {CA}}}{2}}={\frac {{\vec {AB}}\cdot {\vec {CA}}}{1}}$，求$\tan A$的值。

模型

涉及三角形中线与五心的问题

三角形五心在向量形式下的充要条件：

设O为三角形ABC所在平面上的一点，角A、B、C所对边的长度分别为a、b、c，则：

(1) O为三角形ABC的外心$\quad \Leftrightarrow \quad |OA|^{2}=|OB|^{2}=|OC|^{2}$；

(2) O为三角形ABC的重心$\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}={\vec {0}}$；

(3) O为三角形ABC的垂心$\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {OA}}\cdot {\vec {OB}}={\vec {OB}}\cdot {\vec {OC}}={\vec {OC}}\cdot {\vec {OA}}$；

(4) O为三角形ABC的内心$\quad \Leftrightarrow \quad a{\vec {OA}}+b{\vec {OB}}+c{\vec {OC}}={\vec {0}}$；

(5) O为三角形ABC的角A的旁心$\quad \Leftrightarrow \quad a{\vec {OA}}=b{\vec {OB}}+c{\vec {OC}}$；

这些规律中最常用的是重心的条件。

相关例题1： 已知AD是三角形ABC的中线，求证：$AD^{2}={\frac {1}{2}}(|AB|^{2}+|AC|^{2})-({\frac {|BC|}{2}})^{2}$。

相关例题2： 对于任意给定的三角形ABC，求证：点G是此三角形重心的充要条件是${\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}={\vec {0}}$。

相关例题3： 在三角形ABC中，点F是BC的中点，直线l分别交AB、AF、AC于点D、G、E。如果${\vec {AD}}=\lambda {\vec {AB}},{\vec {AE}}=\mu {\vec {AC}},\lambda \in \mathbb {R} ,\mu \in \mathbb {R}$，求证：G为三角形ABC重心的充分必要条件是${\frac {1}{\lambda }}+{\frac {1}{\mu }}=3$。

相关例题4： 设三角形ABC的外心为O，垂心为H，重心为G，求证：O、G、H为共线的3个点，且|OG| : |GH| = 1 : 2。

相关例题5： 已知点O是平面上的一个固定点，A、B、C是此平面上不共线的3个点。此平面上有动点P满足条件${\vec {OP}}={\vec {OA}}+\lambda ({\frac {\vec {AB}}{|{\vec {AB}}|}}+{\frac {\vec {AC}}{|{\vec {AC}}|}})\quad (\lambda \in [0,+\infty ))$。则点P的轨迹一定经过三角形ABC的(    )心。

相关例题6： 已知P为三角形ABC内一点，$3{\vec {PA}}+4{\vec {PB}}+5{\vec {PC}}=0$，求三角形PAB、三角形PBC、三角形PCA的面积之比。

补充习题

• 在平面非正交坐标系中，向量数量积的坐标计算公式是否仍然成立？

参见

• 向量的叉积与伪矢量
• 复向量及其点积
• 空间向量及其应用

外部链接

维基百科中的相关条目：

数量积