高中数学/不等式与数列/等比数列

阅读指南

希望快速了解或快速回顾高中数学的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。

预备知识

阅读本节，需要先学习有关数列与通项公式的概念。

基础知识

知识引入

1. 理想条件下，细胞对半分裂的个数可以组成下面的数列：$1,2,4,8,\cdots$
2. 一轮计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒成为第二轮，以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：$1,20,20^{2},20^{3},\cdots$。

可以看到，这些数列都有一个特点：从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数。

定义与基本概念

如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么称这个数列为等比数列或几何数列（geometric sequence），这个非零的常数叫做等比数列的公比（common ratio）。

如果已知等比数列$\{a_{n}\}$的首项$a_{1}$和公比$q\quad (q\neq 0)$，通过依次倒推的方法，可以得到等比数列的通项公式：
$a_{n}=a_{n-1}q=(a_{n-2}q)q=((a_{n-3}q)q)q=...=a_{1}q^{n-1}$。

以$a_{1}$为首项、$q\quad (q\neq 0)$为公比的等比数列的通项公式为：$a_{n}=a_{1}q^{n-1},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

错位相减法与等比数列前n项和公式

对于等比数列$a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ,a_{n},\cdots$，它的前n项的和是
$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}$
根据等比数列的通项公式，上面的式子可以写成
$S_{n}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{n-1}+a_{1}q^{n}$…………①
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可以得到：
$qS_{n}=a_{1}q+a_{1}q^{2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}+a_{1}q_{n}$…………②
①、②的右边有很多相同的项，用①分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，得$\left(1-q\right)S_{n}=a_{1}-a_{1}q^{n}$
当$q\neq 1$时，等比数列前n项和的公式为$S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}(q\neq 1)$
因为$a_{n}=a_{1}q^{n-1}$，所以上面的公式还可以写成$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}}$

以$a_{1}$为首项、$q\quad (q\neq 0)$为公比的等比数列的前n项和公式为：$S_{n}={\frac {a_{1}-a_{n}q}{1-q}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$

相关例题： 国际象棋起源于古代印度。相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他想要什么。发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放1粒麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子麦粒数的2倍，直到第64个格子，请满足我的要求。”国王认为这个要求不高，就同意了。根据调查，目前世界小麦年产量为6亿吨。如果1000粒麦子的质量是40g，请判断国王能否实现它的诺言。

解答：
我们分析一下，如果把各个格所放的麦粒看做一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒总和就是求这个数列前64项的和。由$a_{1}=1,q=2,n=64$，可得$S_{64}={\frac {1\times \left(1-2^{64}\right)}{1-2}}=2^{64}-1$。这个数很大，超过了$1.84\times 10^{1}9$，估计一千粒麦子的质量约为40克，那么以上麦粒总质量超过了7000亿吨。因此，国王根本不能实现他的诺言。

答案：国王不能实现他的诺言。

点评：这毕竟只是个故事。国王的脾气可能并不好，欺负国王没文化是很危险的。

常用结论与常见模型

等比中项

与等差数列中等差中项的概念类似，如果在2个数a和b中间插入一个数g，使a、g、b按顺序成为一个等比数列，那么g叫做a和b的等比中项。

补充习题

外部链接

维基百科中的相关条目：

等比数列