訊號與系統/由系統微分方程式求系統脈衝響應

線性非時變系統

●連續時間線性非時變系統一般可以線性常微分方程式表示 : 
 

$\sum _{n=0}^{N}a_{n}{d^{n}y(t) \over dt^{n}}=\sum _{m=0}^{M}bm{d^{m}x(t) \over dt^{m}}$

其中$\mathbf {y} (t)$為系統輸出，$\mathbf {x} (t)$為系統輸入。

●此一系統對於任意輸入訊號$\mathbf {x} (t)$的零狀態響應可用旋積運算求得 : 

$\mathbf {y} (t)=x(t)*h(t)$

其中$\mathbf {h} (t)$為系統的單位脈衝響應。

●本附錄將介紹如何由描述系統的線性常微分方程式找出系統的單位脈衝響應。

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尋找系統單位脈衝響應的第一種方法

步驟一 : 將系統的微分方程式中，等號右邊直接以$\mathbf {x} (t)$代替(即子系統$\mathbf {\alpha }$的輸入$\mathbf {x} (t)=\delta (t)$ ，此時的輸出即為子系統$\mathbf {\alpha }$之單位脈衝響應$\mathbf {y} _{1}(t)=h_{a}(t)$)

步驟二 : 將形成新方程式取積分，積分範圍由$\mathbf {t} =0^{-}$到$t=0^{+}$。觀察此一新方程式等號左、右兩邊的特性，可求得一組在$\mathbf {t} =0^{+}$時之初始條件。

步驟三 : 利用步驟二的初始條件，可求得子系統$\mathbf {\alpha }$之單位脈衝響應$\mathbf {h} _{a}(t)$。

步驟四 : 系統的單位脈衝響應$\mathbf {h} (t)$可由$\mathbf {h} _{a}(t)$及其微分之線性組合獲得。也就是 : 

$\mathbf {h} (t)=\sum _{m=0}^{M}bm{d^{m}x(t) \over dt^{m}}$

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範例3.23

試求LTI系統$\tau _{0}{dy(t) \over dt}+y(t)={d \over dt}x(t)+x(t)$ 之單位脈衝響應$h(t)$。

【解】

步驟一 :$\tau _{0}{dh_{a}(t) \over dt}+h_{a}(t)=\delta (t)$

步驟二 :$\int _{0^{-}}^{0^{+}}\tau {dh_{0}(t) \over dt}\,dt+\int _{0^{-}}^{0^{+}}h_{0}(t)\,dt=\int _{0^{-}}^{0^{+}}\delta (t)\,dt$

觀察步驟一的方程式，等號左邊包含$h_{a}(t)$及$h_{a}(t)$的一切微分，而等式右邊僅含有$\delta (t)$。故可推論，$h_{a}(t)$不會包含$\delta (t)$(否則等號左邊會有$\delta (t)$的一次微分)但在$t=0$處是一不連續點，即$h_{a}(t^{+})-h_{a}(t^{-})=k<\infty$。

$\Rightarrow \tau _{0}[h_{a}(0^{+})-h_{a}(0^{-})]+0=1$

又由於系統單位脈衝響應是假設無初始條件即$h_{a}(0^{-})=0$

$\Rightarrow h_{a}(0^{+})={1 \over \tau _{0}}$

步驟三 : 對於$t>0$，步驟一的方程式可寫成

$\tau _{0}{dh_{a}(t) \over dt}+h_{a}(t)=0$ $t>0$

$\Rightarrow h_{a}(t)=Ae^{-t/\delta _{0}}$ $t>0$

由步驟二知

$h_{a}(0^{+})={1 \over \tau _{0}}$

$\Rightarrow h_{a}(t)={1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}$

步驟四 : 系統單位脈衝響應

$h(t)={d \over dt}h_{a}(t)$

$={d \over dt}[{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)]+{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)$

$=-{1 \over \tau _{0}^{2}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)+{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}\delta (t)+{1 \over \tau _{0}}e^{-t/\tau _{0}}u(t)$

$=({1 \over \tau _{0}}-{1 \over \tau _{0}^{2}})e^{(}-t/\tau _{0})u(t)+{1 \over \tau _{0}}\delta (t)$

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尋找系統單位脈衝響應的第二種方法

●已知系統的單位脈衝響應等於系統的單位步階響應的微分。

●當系統的微分方程式等號右邊沒有輸入訊號$x(t)$的微分時，可先求出系統的單位步階響應再將其微分而得系統的單位脈衝響應$h(t)$。

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範例3.24

一LTI系統之微分方程式為${d^{2}y(t) \over dt^{2}}+3{dy(t) \over dt}+2y(t)=x(t)$試求其單位脈衝響應$h(t)$。

【解】先求單位步階響應$s(t)$

${d^{2}s(t) \over dt^{2}}+3{ds(t) \over dt}+2s(t)=u(t)$

採用傳統工程數學解微分方程的方法 :

(1)對於$\mathbf {t} >0$

$\mathbf {d^{2}s(t) \over dt^{2}} +3{ds(t) \over dt^{2}}+2s(t)=1$

$\mathbf {(} D^{2}+3D+2)s(t)=1$

(2)令$\mathbf {\lambda } ^{2}+3\lambda +2=0$  $\mathbf {\Rightarrow } \lambda =-2,-1$

所以 齊性解$\mathbf {s} _{h}(t)=Ae^{-2t}+Be^{-t}$

(3)利用未定係數法求特解$\mathbf {s} _{p}(t)=k$代入方程式

${d^{2}s_{p}(t) \over dt^{2}}+3{ds_{p}(t) \over dt}+2s_{p}(t)=1$

$\mathbf {0} +0+2k=1$

$\Rightarrow k={1 \over 2}$

故$s_{p}(t)={1 \over 2}$

(4)由(2)(3)知

$\mathbf {s} (t)=s_{h}(t)=s_{h}(t)+s_{p}(t)$

$\mathbf {=} Ae^{-2t}+Be^{-t}+{1 \over 2}$

(5)因為$\mathbf {d^{2}s(t) \over dt^{2}} +3{ds(t) \over dt}+2s(t)=u(t)$，故$\mathbf {s} (t)$及$\mathbf {ds(t) \over dt}$在$\mathbf {t} =0$處均 必須為連續。

又假設系統的初始條件為0，即$s(0^{-})=0$，$s\prime (0^{-})=0$。
         

故$\mathbf {s} (0^{+})=s(0^{-})=0$

$s\prime (0^{+})=s\prime (0^{-})=0$

將(5)的初始條件代入(4) 

$\Rightarrow {\begin{cases}A+B+{1 \over 2}=0\\-2A-B=0&\end{cases}}$

$\Rightarrow {\begin{cases}A={1 \over 2}\\B=-1\end{cases}}$

所以$s(t)=[{1 \over 2}e^{-2t}+{1 \over 2}u(t)]$

(6)系統的單位脈衝響應 :

$h(t)={ds(t) \over dt}=[-e^{-2t}+e^{-t}u(t)]+[{1 \over 2}e^{-2t}+{1 \over 2}]\delta (t)$

$\mathbf {=} [-e^{-2t}+e{-t}]u(t)$

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參考資料

●B. P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998.

●G. E. Carlson, Signal and Linear System Analysis, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1998.

●余兆棠、李志鵬，信號與系統， 滄海書局，2007。

●Edward W. Kamen and Bonnie S. Heck, Fundamentals of Signals and System Using the Web and Matlab, 2nd ed.,Prentice Hall International, 2000.

●Rodger E. Ziemer, William H. Tranter, D. Ronald Fannin, Signals & Systems: Continuous and Discrete, 4th ed.,Prentice Hall International, 1998.

●Charls L. Phillips, John M. Parr, Eve A. Riskin, Signals, Systems, and Transforms, 3rd ed., Pearson Education, 2003.

●Rodger E. Ziemer and William H. Tranter, Principles of Communications, John Wiley & Sons, 2002.

●Simon Haykin, Communication Systems, 4th ed., John Wiley & Sons, 2001.

●John G. Proakis and M. Salehi, Communication Systems Engineering, 2nd ed., Prentice Hall International, 2002.

●Benoit Boulet, Fundamentals of Signals and Systems, Da Vinci Engineering Press, 2005.