线性代数/引言

简介

线性代数是研究有限维线性空间的学科，矩阵和线性空间是其基本内容，是数学和其他学科的重要基础，在生产生活中有着广泛的应用。学好线性代数，对培养逻辑思维、空间想象能力也起到重要的作用。因此，各大院校理工、金融等诸多专业都以线性代数作为必修课程，足见其内容的重要性和通用性。

预备知识

在学习主要内容之前，首先让我们对向量和矩阵有一个直观上的认识。

坐标向量

在平面直角坐标系中，我们会用有序数对$(x,y)$的形式表示一个点。我们对点可以定义其运算，例如点的平移：将点$A(x,y)$向右平移一个单位得到点$B(x+1,y)$，这个过程抽象地写成方程的形式，可以写作

$A+(1,0)=B$

如果我们用一个符号$a$来代替$(1,0)$，就可以把这个方程表示地更简洁一些：

$A+a=B$

这里的$a$所代表的已经不是一个数了，而是有序数对。我们把这样的有序数对，连同$A,B$的坐标，称为二维实坐标向量。上面的方程就成了一个向量方程，表示三个向量之间存在的关系。

我们通常从全体的角度去研究一类对象，我们把所有二维实坐标向量所组成的集合称为二维实向量空间。注意到，这个二维实向量空间，实际上是实数集与实数集之间的笛卡尔积。因此要表示一个变量$a$为二维实坐标向量时，我们通常写成

$a\in \mathbb {R} ^{2}$

$n$维空间中的点，要确定其位置，需要$n$个坐标分量，我们把这$n$个分量组合而成的有序数组称为$n$维实坐标向量。所有$n$维实坐标向量组成的集合记为$\mathbb {R} ^{n}$。

更一般地，我们可以将实数域扩展到一般的数域中讨论向量。有如下定义：

向量可以定义其运算。设$a,b\in F^{n},a=(a_{1},\cdots ,a_{n}),b=(b_{1},\cdots ,b_{n}),\lambda \in F$，则有

• 向量取反：$-a=(-a_{1},\cdots ,-a_{n})$
• 向量加法：$a+b=(a_{1}+b_{1},\cdots ,a_{n}+b_{n})$
• 向量减法：$a-b=a+(-b)$
• 数乘：$\lambda a=(\lambda a_{1},\cdots ,\lambda a_{n})$

上述定义都是很自然的，这里不加说明地直接给出。

向量之间可以比较是否相等。设$a,b\in F^{n},\,a=(a_{1},\cdots ,a_{n}),\,b=(b_{1},\cdots ,b_{n})$，则$a=b$当且仅当每个对应分量相等，即：$\forall i\in 1,2,\cdots ,n,a_{i}=b_{i}$。但是要注意，向量之间不能直接比较大小。

矩阵

向量其实质是将数域做了笛卡尔积，由一个数扩展成了一组数。在书写中，我们常常把向量中包含的数写成一行或一列的形式，例如

$a=[1\;3\;5\;7],b=\left[{\begin{array}{c}2\\4\\6\\8\end{array}}\right]$

前者称为行向量，后者称为列向量。在实际应用中，向量这种对数域的扩展形式往往还不够用，即它只作为某一个“方向”上的扩展（这里应理解为其书写的形式），如果我们沿两个方向扩展数域，就会得到更一般的形式，我们称之为矩阵。例如

$A=\left[{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\\5&6\end{array}}\right]$

就是一个3行2列的矩阵，通常称作3×2的矩阵。一般的$m\times n$的矩阵的全体记作$F^{m\times n}$。注意到，向量也可以看成是一种特殊的矩阵，所有$n$维行向量的全体$F^{n}$等价于$F^{1\times n}$，所有$m$维列向量的全体$F^{m}$等价于$F^{m\times 1}$。

这里我们没有给矩阵这种表达形式赋予它特别的含义，因为它的含义会随着实际应用的不同而不同。在这里我们将其看作是对向量的一个扩展即可。矩阵的定义、运算、性质将在后面的章节中详细的给出。

习题

1. 设集合$A=\{1,2,3\},B=\{4,5,6\},C=\{7,8\}$，写出$A\times B\times C$；
2. 模仿向量的定义，尝试定义矩阵；
3. （选做）找一本抽象代数（或近世代数、代数结构）的课本，了解域的定义、性质，以及域上的运算。提示：域是一个集合$R$以及集合上定义的两种运算“·”、“+”所组成的三元组。