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理论物理学最基本的任务是求解物理系统随时间演化的规律。换言之,给定一个系统当前时刻的状态,如何推测这个系统在之后任意时刻的状态。本书讲述经典力学的方法,也将在经典的层面上回答以上这个问题。

那么,如何在经典力学层面上确定一个系统当前的状态呢?对任意一个物理系统,我们都可以先验地假定,任意时刻其在空间中的分布状况都为一组彼此独立的物理量所确定,这组物理量被称为系统的动力学变量。系统的动力学变量的数目被称为系统的自由度。对于一个自由粒子构成的系统来说,粒子在三维空间中的坐标(x,y,z)(又称为笛卡儿坐标)唯一地确定了该系统在空间中的分布。因而这个系统的自由度数为3,粒子的坐标可以作为系统的动力学变量。事实上,对于这个系统而言,任意彼此独立的函数X=X(x,y,z),Y=Y(x,y,z),Z=Z(x,y,z)都唯一确定了粒子在空间中的位置,它们同样可以作为这个系统的动力学变量。例如,就是满足这样要求的一组函数,它们被称为极坐标。更一般地,对于N个粒子构成的系统,可以用这N个粒子的笛卡尔坐标作为系统的动力学变量,同时,任意3N个关于这些笛卡尔坐标独立函数都可以作为系统的动力学变量。通常,有限个自由度的系统的动力学变量可以视作“推广了的”笛卡尔坐标——广义坐标。

在后续的课程中,我们还会处理一类具有大量自由度,甚至不可数无穷个自由度的系统——场。例如,在经典电动力学中,我们会研究连续时空中的电磁场系统。对一个连续时空中的场,可以在空间中的每个点定义一个场势,不同点的场势可以视作独立的动力学变量,如此一来,场系统便具有不可数无穷个自由度。

在给定的时刻,确定了系统的动力学变量的数值(或函数形式,对于场系统),也就确定了系统该时刻在空间中的分布,然而这并不足以确定系统随时间的演化。t=0时刻一个处于原点的自由粒子,在未来可以沿着任意一条直线作匀速直线运动,具体作何运动取决于粒子在该时刻的速度。在这里,我们同样是先验地假定,对于任意的物理系统,都存在着一个由所有动力学变量,它们随时间的一阶导数,和时间确定的函数(或泛函,对于场系统)L。经典力学的基本原理可以被表述为:系统随时间的演化令L满足哈密顿原理。这个函数被称为系统的拉格朗日函数,简称为拉格朗日量或拉氏量。在下一章中,我们将叙述哈密顿原理,并由此推导动力学变量随时间演化的方程式。

“拉氏量是动力学变量,其对时间一阶导数和时间的函数”的假定意味着,给定系统动力学变量的数值,以及它们随时间的变化率,系统的演化规律就被完全确定下来了。这一点当然不能得到理论上的严格证明,而应被理解为基本原理的一部分。但是,我们可以从一些角度去尝试“理解”这一假定。例如,假设一个系统的拉氏量依赖于动力学变量对时间的二阶导数,我们将发现系统的能量没有下界,因而在物理上是不允许的。这一矛盾的结果被称为奥斯特罗格拉德斯基不稳定性。

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