概率论

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概率论

随机事件及其概率

在概率论里必须先定义一个可测空间

$\Omega$在${\mathcal {F}}$中；

如果一个集合$A$在${\mathcal {F}}$中，那么它的补集$A^{c}$也在${\mathcal {F}}$中；

如果有可数个集合$A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}\cdots$都在${\mathcal {F}}$中，那么它们的并集也在${\mathcal {F}}$中。

用数学语言来表示，就是

$\Omega \in {\mathcal {F}};$

$A\in {\mathcal {F}}\Rightarrow A^{c}\in {\mathcal {F}};$

$(\forall n\in \mathbb {N} ~~~A_{n}\in {\mathcal {F}})\Rightarrow \bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.$

记号$\left(X,{\mathcal {F}}\right)$称为一个可测空间。$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$称为概率空间，如果$P$是一个概率测度，也就是说它必须符合

• 空集的测度为零：

$P(\emptyset )=0$。

• $\sigma$可加性：若$A_{1},A_{2},\cdots$为${\mathcal {F}}$中可数个两两不交的集合的序列，则所有$A_{i}\$的并集的测度，等于每个$A_{i}\$的测度之总和：

$P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i})$

• 空集的测度为零：

$\mu (\emptyset )=0$。

• 值在0和1之间并且

$P(\Omega )=1$

随机变量是一个${\mathcal {F}}$可测的函数。

概率空间的定义符合我们对日常所说的概率的公理。我们称$\Omega$为样本空间，${\mathcal {F}}$为事件集合，其子集为随机事件。 以扔硬币为例：如果是一个有$A,B$两面的硬币。

$\Omega =\{A,B\}$。假设我们赌“$A$”，如果赢的话可以得到一块钱，输的话我们就输一块钱，这种情况可以用一个随机变量$X:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$来表示。

$X(A)=1$，$X(B)=-1$

如果这个硬币没有做过手脚 那么随机事件$A$ 的概率 $P(A)=P(X=-1)=0.5$, 随机事件$B$的概率 $P(B)=P(X=-1)=0.5$. 符合$\sigma$可加性。

如果我们同时扔两个硬币

$\Omega =\{(A,A),(A,B),(B,A),(B,B)\}$

一 随机事件

§1几个概念 1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验；
（1）试验可在相同条件下重复进行；
（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；
（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如： E1：掷一骰子，观察出现的总数； E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况； E3：观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数。

2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件：常记为$A,B,C,...$

  例如：在E1中，A表示“掷出2点”，B表示“掷出偶数点”均为随机事件。

3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Ω。每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为Φ。

  例如：在E1中，“掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而“掷出大于6点”的事件便是不可能事件,以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件。

4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

  例如，在E1中，“掷出1点”，“掷出2点”，……，“掷出6点”均为此试验的基本事件。
  由基本事件构成的事件称为复合事件，例如，在E1中“掷出偶数点”便是复合事件。

5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点，常记为$e$.

  例如，在E1中，用数字$1,2,...,6$表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集$\left\{1\right\},\left\{2\right\},...,\left\{6\right\}$便是E1中的基本事件。在E2中，用$H$表示正面，$T$表示反面，此试验的样本点有$\left(H,H\right)$，$\left(H,T\right)$，$\left(T,H\right)$，$\left(T,T\right)$，其基本事件便是$\left\{\left(H,H\right)\right\}$，$\left\{\left(H,T\right)\right\}$，$\left\{\left(T,H\right)\right\}$，$\left\{\left(T,T\right)\right\}$显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
   例如， 在E1中“掷出偶数点”的事件便可表为$\left\{2,4,6\right\}$。试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。记为$\Omega$。
   例如，
   在E1中，$\Omega =\left\{1,2,3,4,5,6\right\}$
   在E2中，$\Omega =\left\{\left(H,H\right),\left(H,T\right),\left(T,H\right),\left(T,T\right)\right\}$
   在E3中，$\Omega =\left\{0,1,2,...\right\}$

§2事件间的关系与运算

  1、包含:“若事件$A$的发生必导致事件$B$发生，则称事件$B$包含事件$A$，记为或$B$  $A$。 
     例如，在E1中，令件，简称为积，记为$A$  $B$或$AB$。
 例如，在E3中，即观察某电话交换台在某时刻接到的呼唤次数中，令$A=\{$接到偶数次呼唤$\}$，$B=\{$接到奇数次呼唤$\}$，则$AB=\{$接到6的倍数次呼唤$\}$
 5、差：称事件$A$发生但事件$B$不发生的事件为$A$减$B$的差事件简称为差，记为$A-B$。
 例如，测量晶体管的$\beta$参数值，令$A=\{$测得$\beta$值不超过$50\}$，$B=\{$测得$\beta$值不超过$100\}$，则，$A-B=\phi$，$B-A=\{$测得$\beta$值为$50<\beta \leqslant 100\}$
 6、互不相容：若事件$A$与事件$B$不能同时发生，即$AB=\phi$，则称$A$与$B$是互不相容的。
 例如，观察某定义通路口在某时刻的红绿灯：若$A=\{$红灯亮$\}$，$B=\{$绿灯亮$\}$，则$A$与$B$便是互不相容的。
 7、对立：称事件A不发生的事件为$A$的对立事件，记为  显然  ，$A\cap B=\phi$