有了參數式後,我們就不可免除的要來微分一下,我們稱
的一階導數
為曲線
於
的切向量(或速度向量,以物理學的角度來看)。若切向量
,則我們定義過
方向向
的直線為
在
的切線,並且我們可定義單位切向量
為與切向量同向而長度為1之向量。
有時我們會發現,光有可微性仍然無法保證曲線能長得很平滑,如以下這個例子:
例:
。
α(t)的图像
這個例子中,我們可以看到曲線上會有一個轉折。探究原因,我們發現在
這點,切向量
,我們稱這種切向量(一階導數)等於零的點為奇點。若我們把單位切向量函數
的參數
對
作逼近,我們會發現其左極限和右極限是不相等的,即是說奇點的存在容許了這種單位切向量的轉折,也因此奇點的切線是未定義的。為了確保切線能存在,我們便定義正則曲線:
定義: 一個可微參數曲線
為正則曲線,當
對於所有
。