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微分几何/切向量與正則曲線

有了參數式後,我們就不可免除的要來微分一下,我們稱 的一階導數 為曲線 切向量(或速度向量,以物理學的角度來看)。若切向量 ,則我們定義過 方向向 的直線為 切線,並且我們可定義單位切向量 為與切向量同向而長度為1之向量。

有時我們會發現,光有可微性仍然無法保證曲線能長得很平滑,如以下這個例子:

例:

TODO

編者待辦:

  • 這個例子應該要放個圖片。--Tuxoko (留言) 2009年10月8日 (四) 16:12 (UTC)

這個例子中,我們可以看到曲線上會有一個轉折。探究原因,我們發現在 這點,切向量 ,我們稱這種切向量(一階導數)等於零的點為奇點。若我們把單位切向量函數 的參數 作逼近,我們會發現其左極限和右極限是不相等的,即是說奇點的存在容許了這種單位切向量的轉折,也因此奇點的切線是未定義的。為了確保切線能存在,我們便定義正則曲線:

定義: 一個可微參數曲線 為正則曲線,當 對於所有