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设函数f(x,y)在区域D内有定义，且点( x 0 {\displaystyle x_{0}} , y 0 {\displaystyle y_{0}} )是该区域的聚点。 ∀ ε > 0 {\displaystyle \forall \varepsilon >0} , ∃ δ {\displaystyle \exists \delta } ，对于 ( x , y ) ∈ D {\displaystyle (x,y)\in D} ，在一下情况下：
满足：
则称C是函数f(x,y)在点( x 0 {\displaystyle x_{0}} , y 0 {\displaystyle y_{0}} )的二重极限。 记作：
若函数f(x,y)在点( x 0 {\displaystyle x_{0}} , y 0 {\displaystyle y_{0}} )的某个邻域内满足：
则称函数f(x,y)在点( x 0 {\displaystyle x_{0}} , y 0 {\displaystyle y_{0}} )处连续。
1.若函数f(x,y)可微，且x= ϕ {\displaystyle \phi } (t)，y= φ {\displaystyle \varphi } (t)都对t可导，则复合函数f( ϕ {\displaystyle \phi } (t), φ {\displaystyle \varphi } (t))也对t可导，且满足：
2.若函数f(u,v)可微，且u= ϕ {\displaystyle \phi } (x,y)，v= φ {\displaystyle \varphi } (x,y)都对t可导，则复合函数f( ϕ {\displaystyle \phi } (x,y), φ {\displaystyle \varphi } (x,y))也对(x,y)存在偏导数，且满足：
,
)是该区域的聚点。
,
，对于
，在一下情况下：
, )的二重极限。
记作：
, )的某个邻域内满足：
, )处连续。
