整數集合,即所有的整數,像0,1,-1,2,-2,......這一些整數形成的集合,就叫整數集合,或以 表示,自然數 為其子集,但奇怪的是,整數集合和正整數集合內部的元素數量竟相等
整數集合的性質符合環的性質,意即其加減乘法皆自封(若對一種定義在X上的運算Y,當a和b皆為X的元素時,aYb亦為X的元素,則稱運算Y自封),以下將說明整數集合的性質
- 因數:若 成立,則 是 的因數
- 倍數:若 ,則 是 的倍數
- 質數:若一個大於1的正數 的正因數只有1, ,則稱這個數 為質數
任意大於1的正整數都能唯一地表示成由指定數量的特定質數的乘積
根據算術基本定理,任意正整數皆可表為唯一的若干个正质数的乘積,且因為這些質數沒有次序上的問題,因此,可將相同的質數寫成該質數的冪方也是沒問題的,意即上面的a可改寫為:
a=
先證明幾個引理:
- 引理1:每個大於一的數都可以表示成質數的乘積,或本身為質數
引理1證明:用第二種數學歸納來證明,設正整數 時,2為質數,故成立,再假設當 時此引理成立,則當 時,若 為質數,則引理成立,若 不為質數時, 為合數,因此 ,其中 ,因而由假設知 和 可表為質數的乘積,因而 亦可表為質數的乘積,因此引理亦對 成立,因此由數學歸納法得知,此引理對所有的正整數 成立
- 引理2:若 ,且 是質數,則p|a或p|b至少有一個成立,另一方面,若 是質數,且若 成立,則 、 、 、...... 至少有一成立
引理2證明:
- 由引理2引出的引理3:若 皆為質數,且 則至少有一個 使
引理3證明:
算術基本定理證明:存在性由引理1可得知,現在來證唯一性:設有一數n,它的分解式為 ,其中 皆為質數,再設n存在另一個分解式 ,設 ,且 亦皆為質數,而且 及 ,則很明顯地有 ,由引理3知,必有一些 和 相等,且可推知這個關係是唯一的,因此現在將和 相等的數設為 ,其他的也照做,意即 、 、‧‧‧、 ,而剩下來的則記為 ,則由此及 可推出 意即此兩個分解式之中所有的質數相等,與原假設矛盾,故n的分解式為唯一的
假若對兩個整數 ,有一整數 ,使 且 ,則稱 為 和 的公因數,若在 和 的公因數所形成的集合中, 是為其中最大的數字,則稱這個 為 和 的最大公因數,或記做 ,若 ,則稱 和 互質
若有整數 ,使得 且 ,則稱 為 和 的公倍數,若在 和 所有的正公倍數所形成的集合中, 是其中最小的數字,則稱 為 和 的最小公倍數,或記做 ,且若 ,則
- 最大公因數:
-
- 若 則 ,且在此 為任意整數, 為任意正整數
- 若 則 ,且在此 為任意整數, 為任意正整數
對於兩個數 和 ,有以下算法:
我们可以 表示 的公约数则 并且
所以 并且 ,
也就是说当 时, 和 的最大公约数和 和 相等。于是我们有:
......
其中( , )=( , )=......=( , )
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