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倍长中线法

定义编辑

把一个三角形里的中线延长至原来的一半,构造全等三角形

用法编辑

在一个三角形里,有中线,要求证明和差关系,80%的情况要用倍长中线法,20%的情况用一般方法。

例题编辑

 
倍长中线法例图

例1:如图(上),在△ABC中,AB=2AC,AD平分BC,AD⊥AC,求∠BAC的度数。

解:∠BAC=120,理由如下:

延长DA,使DA=DE,连接BE。

因为D是中点

从而△ADC≌△BDE(SAS)

从而∠E=∠EAC=90,BE=AC

因为AB=2AC

从而 1/2AB=BE

从而∠BAE=30(在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半)

从而∠BAC

=∠BAE+∠EAC

=30+90

=120

例2:如图(下),在△ABC中,AB=5a,AC=3a(a>0),求中线AD的取值范围。

解:延长AD至AE,交BC于D,使DE=AD。连接EC。

因为点D是中点

所以△ABD≌△CDE(SAS)

由题意:AC+EC>AE>AC-EC,AB=EC=5a,AC=3a。

所以AE的取值范围为:即8a>AE>2a

由题意:AE=2AD

所以4a>AD>a