倍长中线法

定义

把一个三角形里的中线延长至原来的一半，构造全等三角形

用法

在一个三角形里，有中线，要求证明和差关系，80%的情况要用倍长中线法，20%的情况用一般方法。

例题

倍长中线法例图

例1：如图（上），在△ABC中，AB=2AC，AD平分BC，AD⊥AC，求∠BAC的度数。

解：∠BAC=120°，理由如下：

延长DA,使DA=DE，连接BE。

因为D是中点

从而△ADC≌△BDE（SAS）

从而∠E=∠EAC=90°，BE=AC

因为AB=2AC

从而 1/2AB=BE

从而∠BAE=30°（在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）

从而∠BAC

=∠BAE+∠EAC

=30°+90°

=120°

例2：如图（下），在△ABC中，AB=5a，AC=3a（a>0），求中线AD的取值范围。

解：延长AD至AE,交BC于D，使DE=AD。连接EC。

因为点D是中点

所以△ABD≌△CDE(SAS)

由题意：AC+EC>AE>AC-EC，AB=EC=5a，AC=3a。

所以AE的取值范围为：即8a>AE>2a

由题意：AE=2AD

所以4a>AD>a