代數/本書課文/方程與不等式

不等式

不等式的概念

实数大小的比较

我们知道，对于两个确定的实数 $a$ 与 $b$ 之间，总存在，并且只存在下列数量关系的一种：

1. $a$ 大于 $b$ ，记作 $a>b$；
2. $a$ 小于 $b$ ，记作 $a<b$；
3. $a$ 等于 $b$ ，记作 $a=b$。

我们还知道，要比较两个实数 $a$ 与 $b$ 的大小，只要考察它们的差就可以了，即：

如果 $a-b$ 是正数，那么 $a>b$，如果 $a-b$ 是负数，那么 $a<b$，如果 $a-b$ 差为零，那么 $a=b$；

反过来，如果 $a>b$，那么 $a-b$ 是正数，如果 $a<b$ 那么 $a-b$ 是负数，如果 $a=b$，那么 $a-b$ 差为零。

用式子来表示，就是：

设 $a$、$b$ 为两实数，

如果 $a-b={\begin{cases}>0,\\<0,\\=0,\end{cases}}$ 那么 $a={\begin{cases}>b,\\<b,\\=b;\end{cases}}$

反过来，如果 $a={\begin{cases}>b,\\<b,\\=b,\end{cases}}$ 那么 $a-b={\begin{cases}>0,\\<0,\\=0.\end{cases}}$

在上面所讲的式子里， $a>b$ 和 $a<b$ 这两个式子是用不等号“$>$”和“$<$”把两个实数 $a$ 和 $b$ 联结起来构成的，它们都叫做不等式； $a=b$ 是用等号“$=$”把两个实数联结起来构成的，叫做等式。

此外，还有关系符号“$\leqslant$”（读作大于或等于）和“$\geqslant$”（读作小于或等于）。顾名思义。对于实数 $a$ 和 $b$ ， $a\geqslant b$ 表示 $a>b$ 或 $a=b$ ， $a\leqslant b$ 表示 $a<b$ 或 $a=b$。这也是不等式。为了区别，我们把用关系符“$>$”和“$<$”联结而成的不等式叫做严格不等式，而用“ $\leqslant$ ”和“$\geqslant$”联结而成的不等式叫做非严格不等式。

代数式的值的大小比较

有时候，我们也要比较两个代数式值的大小。这时，可以根据一个代数式的值大 于、小于、或者等于另一个代数式的值，而分别用符号“$>$”、“$<$”、“$\geqslant$”、“$\leqslant$”、“$=$”把它们联结起来。在前四种情况下，就组成了不等式，在最后一种情况下，就构成了等式。例如

$3+2>4$ ， $a+1<a+2$ ， $x^{2}\leqslant 0$

等等都是不等式；

$3+2=5$ ， $(a+1)^{2}=a^{2}+2a+1$

等等都是等式。

因为单独用一个字母或数字所表示的数，也可以看做是代数式，所以我们说：

用不等号“$>$”、“$<$”、“$\geqslant$”、“$\leqslant$”、“$\neq$” 把两个代数式联结起来所成的式子叫做不等式；用等号“$=$”把两个代数式联结起来所成的式子叫做等式。

像比较两个实数的大小一样，比较两个代数式值的大小，也只要考察它们的差就可以了。