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定義编辑

不在同一直線上的三條線段首尾順次連接所組成的封閉圖形(小學-初中);也叫三邊形。

兩平行線為一線所截(用於證明三角形內角和為180°)编辑

圖一
  • 對頂角相等,如圖一,∠2=∠4、∠6=∠8
  • 同位角相等,∠α=∠βAngle correspondant 2.svg
  • 內錯角相等,∠α=∠βAngle alt int 2.svg
  • 同側內角互補,如圖一,∠4+∠5=180°,∠3+∠6=180°
    證明:
    ∵∠5+∠6=180°(平角),∠4=∠6(內錯角)
    ∴∠4+∠5=180°。同理∠3+∠6=180°

性質编辑

  1. 三角形的兩鄰邊之和大於第三邊,三角形的兩鄰邊之差小於第三邊。
    如圖,△ABC三邊為a,b,c
    ∵直線是以兩點間最短的距離,∴
    a+b>c,b+c>a,c+a>b 運用移項法則 得到
    c-a<b,c-b<a,a-b<c,
    a-c<b,b-c<a,b-a<b
    Triangle-labels.svg
  2. 三角形三個內角之和等於180°。
    如圖,過C作AB的平行線,得EC
    ABEC兩平行線,為AC所截
    ∠b=∠e(同位角相等)
    ∠a=∠d(內錯角相等)
    ∵∠c+∠e+∠d=180°(平角)∴∠a+∠b+∠c=180°
    得證△ABC三個內角加起來是180°
    Sum-in-a SVG.svg
  3. 三角形的外角等於與它不相鄰的兩個內角之和。
    設圖中的未標示內角為γ'
    ∠α+∠β+∠γ'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°(平角)
    180°−∠γ=∠γ'
    ∠α+∠β=∠γ
    Angle of a triangle.svg
  4. 三角形的一個外角大於任何一個與它不相鄰的內角。
    ∵△外角等於兩遠內角之和,全體大於部分,∴外角大於任一遠內角。
  5. 三角形的三外角之和是360°。
    ∠α+∠α'=180°
    ∠β+∠β'=180°
    ∠γ+∠γ'=180°
    三式相加得:
    ∠α+∠β+∠γ+∠α'+∠β'+∠γ'=540°
    ∠α+∠β+∠γ=180°
    ∠α'+∠β'+∠γ'=540°−180°=360°
    Triangle-exteriour-angle-theorem-2.svg
  6. 同底等高的兩個三角形面積相等。
    ∵△面積=½底×高,∴同底等高的△面積皆相等。如圖6 driehoeken.png
  7. 三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。
    如圖,任一△的中線將原△分為紅藍兩個小△,
    ∵紅部分與藍部分之底相同(中線定義),
    高相同(頂點到底邊只能作一條垂線),
    ∴紅、藍兩部分兩個△面積相同。
    Median slicing triangle.svg

全等三角形编辑

定義:經過平移、旋轉或鏡射之後,能夠完全重合的兩個三角形。

性質:

  1. 對應角相等。
  2. 對應邊相等。
  3. 面積相等。
  4. 周長相等。

重合

  1. 角相等則角之兩邊重合。
  2. 線段等長,則對應之兩端點重合,線段也重合。

三角形共有三邊與三角,兩個三角形各有六個邊、角,取三組邊或角相等共得到八種情形,可歸納為六種情形(SSA和ASS等價,AAS和SAA等價)。其中四種情形全等:

  1. SAS
  2. RHS
  3. SSS
  4. ASA
  5. AAS

一種情形ASS,又包含:

  • A為直角則兩三角形全等,稱為RHS
  • A為鈍角則兩三角形全等,沒有特別的名稱
  • A為銳角則三角形有兩種不同的形狀,不會全等

一種情形AAA代表兩三角形相似。

相關圖庫

以下討論全等條件,並簡單證明之:

SAS(邊角邊)编辑

有兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。

已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ,∠Α=∠Δ、ΑΒ=ΔΕΑΓ=ΔΖ

移動△ΔΕΖ使
Α點與Δ點重合,且∠Α與∠Δ兩邊重合(兩角相等使兩邊重合)
則Β點將與Ε點重合(線段等長兩端點重合)
同理Γ點將與Ζ點重合(線段等長兩端點重合)
∴兩△三頂點重合,兩△三邊重合,∴△ΑΒΓ≅△ΔΕΖ

等腰三角形兩底角相等编辑

△ACB≅△BCA(SAS) 

RHS(直角股斜邊)编辑

在兩個直角三角形中,斜邊及一直角邊對應相等,那麼這兩個三角形全等。

如圖依據畢氏定理:斜邊2−高2 = 另一高2
左、右兩個直角△,斜邊及一高對應相等,另一高亦會對應相等
兩個直角相等,依據SAS,左右兩個△全等。

SSS(邊邊邊)编辑

三組對應邊分別相等的兩個三角形全等。

已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ,ΑΒ=ΔΕΑΓ=ΔΖΒΓ=ΕΖ

翻轉△ΑΒΓ並使ΒΓΕΖ重合(兩線段相等),且Α的位置移動到Η的位置。
△ΔΕΗ為等腰△(已知),兩底角相等
△ΔΖΗ為等腰△(已知),兩底角相等
∠ΕΔΖ=∠ΕΗΖ,∴△ΕΔΖ≅△ΕΗΖ(SAS)
而△ΕΗΖ是△ΑΒΓ移動並鏡射而來的,∴△ΕΔΖ≅△ΒΑΓ

ASA(角邊角)编辑

有兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。

已知△ΑΒΓ與△ΔΕΖ,∠Β=∠Ε、∠Γ=∠Ζ、ΒΓ=ΕΖ

假定△ΑΒΓ與△ΔΕΖ不全等,移動△ΔΕΖ使ΒΓΕΖ重合(等長)
∵∠Β=∠Ε所以Δ必落在ΑΒ線上,Α點之外的另一點Η上。
連接ΗΓ,得到∠ΗΓΒ≠∠ΑΓΒ,與已知矛盾
△ΑΒΓ必須≅△ΔΕΖ,才不致於發生矛盾

AAS(角角邊)编辑

  • 有兩角及其一角的對邊對應相等的兩個三角形全等。
∵△的三角相加必等於180°,
∴若是已確定兩個角之度數,第三角之度數也必確立。
此時三角形之相等部分為AASA,已知ASA滿足全等條件,故為AAS也為全等。

ASS之討論编辑

A為直角或鈍角编辑

兩△全等

A為銳角编辑

△只有兩種可能,並不全等。

平行四邊形编辑

定義:四邊形兩組對邊平行

性質:

  1. 兩組對邊平行且相等;
  2. 兩組對角大小相等;
  3. 相鄰的兩個角互補;
  4. 對角線互相平分;
  5. 對於平面上任何一點,都存在一條能將平行四邊形平分為兩個面積相等圖形、並穿過該點的線;
  6. 四邊邊長的平方和等於兩條對角線的平方和。

中點定理和截線定理编辑

中點定理:三角形兩邊中點連線平行於第三邊,且等於第三邊長的一半。

截線定理:三角形過一邊中點對底邊作平行線,平分對邊。

特殊三角形编辑

定義

  1. 等邊三角形(正三角形):三邊都相等的三角形。
  2. 等腰三角形:有兩邊相等的三角形。
  3. 直角三角形:有一個直角的三角形。
    • 特殊直角三角形:對剖正方形,對剖正三角形

性質

  1. 等邊三角形的三邊相等,且三個角都為60°。
  2. 等腰三角形的「三線」(高、中線、角平分線)合一。
  3. 等腰三角形的兩個底角都相等。
  4. 直角三角形中,兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。
  5. 在直角三角形中,如果有一個角為30°,那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半。
  6. 直角三角形的兩個銳角互余。
  7. 在直角三角形中,斜邊上的中線等於斜邊的一半。

判定

  1. 直角三角形。
    • 有一個角是直角的三角形是直角三角形。
    • 兩銳角互余的三角形是直角三角形。
    • 在一個三角形中,如果一邊上的中線等於這邊的一半,那麼這個三角形是直角三角形。
  2. 等腰三角形。
    • 有兩邊相等的三角形是等腰三角形。
    • 有兩個角相等的三角形是等腰三角形。
  3. 等邊三角形。
    • 三條邊都相等的三角形是等邊三角形。
    • 三個角都相等的三角形是等邊三角形。
    • 有兩邊相等,且其中一角為60°的三角形是等邊三角形。