初等數論/二次剩餘與二次互反律

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二次剩餘

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二次剩餘的定義:若有一同餘方程 ,其中p是一個奇質數,且p不能整除d,若此同餘方程成立,則稱d為模p的二次剩餘,若此同餘方程不成立,則稱d為模p的二次非剩餘

歐拉準則

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二次剩餘有個判別法,名叫歐拉準則: 此處的d與p及其他符號皆依照上面對於二次剩餘的定義

d為模p的二次剩餘的充要條件為: 

d為模p的二次非剩餘的充要條件為: 

證明:

只需证明定理的前一半。

  • 必要性:

 ,且 不能被 整除。

则由費馬小定理可知  

  • 充分性:

勒讓德符號

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依照上面對於二次剩餘的定義,對於奇質數 p 以及整數 d,如果 p 不能整除 d,我們可以定義勒讓德符號 如下:

 

=1,若d為模p的二次剩餘

=-1,若d為模p的二次非剩餘

由二次剩餘和勒讓德符號的定義可推出:

  •  

 

  •  
  •  
  •  

上面的歐拉判別法亦可用勒讓德符號表示,即: 

二次互反律

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對於奇質數p,q,有以下定理:

 

二次互反律的證明

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高斯引理

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高斯引理的證明

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雅可比符號

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習題

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第一部份─基礎題

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第二部份─進階題

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