高中數學(版聊式)/第2節:集合間的關係與運算

集合間的關係與運算

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集合間的關係
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包含:對兩個集合A和B,如果對任意的x∈A,都有x∈B成立,那麼稱A包含於B(或B包含A),記做A⊆B,此時稱A是B的子集。另外,在A⊆B的基礎上,如果還存在x∈B,並且x∉A,那麼稱A是B的真子集,A真包含於B。

相等:對兩個集合A和B,如果既有A⊆B,又有B⊆A,那麼稱A和B相等,記做A=B。

例如,設A={1,2,3} B={2,3},則B⊆A,且是真包含。

集合間的包含關係滿足以下三個性質:

  1. 自反性:對任意集合A,都有A⊆A成立。
  2. 反對稱性:對於集合A和B,如果A⊆B,又有B⊆A,那麼A=B。
  3. 傳遞性:對集合A、B、C。如果A⊆B,又有B⊆C,那麼A⊆C。

我們只證明3:對任意的x∈A,由於A⊆B,有x∈B,又由於B⊆C,有x∈C,於是A⊆C。

另外,規定存在一個集合不包含任何元素,記做∅,讀作空集。並且規定對任意集合A,∅⊆A。

集合的運算:
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(1)交集和併集:

定義:A∩B={x|x∈A並且x∈B},稱為A和B的交集,讀作「A交B」。 A∪B={x|x∈A或者x∈B},稱為A和B的併集,讀作「A並B」。 (注意,此處「或者」指可兼或,即即使既有p成立,又有q成立,那麼「p或者q」依舊被視為真命題。)

例如:A={1,2,3} B={2,3,4},那麼A∩B={2,3},A∪B={1,2,3,4}

交集和併集運算具有以下性質:

  1. A∩A=A A∪A=A
  2. A∩∅=∅ A∪∅=A
  3. A⊆B 若且唯若 A∩B=A 若且唯若 A∪B=B
  4. A∩B⊆A⊆A∪B,A∩B⊆B⊆A∪B
  5. 結合律:(A∩B)∩C=A∩(B∩C),(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
  6. 分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

證明是容易的,我們只選擇6的第一條證明,其餘讀者可自行補證。

證明:

對任意的x∈(A∪B)∩C,依定義,有x∈(A∪B),並且x∈C。而x∈(A∪B)即為x∈A或者x∈B。若x∈A,由x∈C,有x∈(A∩C)。若x∈B,由x∈C,有x∈(B∩C)。即是說,x∈(A∩C)或者x∈(B∩C),因此x∈(A∩C)∪(B∩C)。於是(A∪B)∩C⊆(A∩C)∪(B∩C)。 反之,對任意的x∈(A∩C)∪(B∩C),則x∈(A∩C)或者x∈(B∩C),若x∈(A∩C),則x∈A並且x∈C,由④,A⊆A∪B,故x∈A∪B且x∈C,因此x∈(A∪B)∩C。同理對x∈(B∩C)的情況同樣可證x∈(A∪B)∩C。於是(A∩C)∪(B∩C)⊆(A∪B)∩C。 依集合相等的定義,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

註:讀者可能覺得上述證明十分囉嗦,明明是「顯然正確」的事實我們為什麼要花這麼多篇幅去證明它。這是為了讓大家養成依靠「邏輯推導」而非「主觀感覺」判斷正誤的習慣,而這正是數學與其他自然科學本質性的區別之一。

(2)集合的差和集合的補集

定義:A\B={x|x∈A並且x∉B},讀作「A差B」。

例如:A={1,2,3} B={2,3,4},則A\B={1}

注意:寫A\B,並不意味著B是A的子集,差也不一定具有「數」的差的性質,在使用時務必注意這一點。

定義:有時我們指定我們全部的研究對象所在的集合為全集,通常用U表示。在給定了全集的基礎上,A⊆U的補集定義為U\A,記做AC(補集的記號有很多種,故在書中出現時請查閱上下文,留心作者使用哪種記號)。

例如:U={1,2,3,4} A={2,3},則AC={1,4}。

設全集為U,A、B、C均為U的子集,那麼以下性質成立:

  1. A\B=A∩BC
  2. 德摩根律:(A∩B)C=AC∪BC,(A∪B)C=AC∩BC

證明留給讀者完成。

集合間的映射
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在上一章我們介紹了集合。但是在許多問題中,僅僅有集合是不夠用的。我們常常還需要一種「映射」的概念:兩個集合A,B,A中的每個元素都對應B中的唯一一個元素。比如學號和人的對應,建築物和街牌號的對應。要表示這種對應,一種方法是把對應的對象和本體都寫出來,列成一個大表格。但有時候,比如這個對應:全體整數對應到它的兩倍。要列出這個對應的每一組元素是不可能的,但是我只用一句話就表示出了這個對應。在數學裡要表示這種對應,我們使用所謂「函數」的概念。

定義: 映射: 已知兩個集合A,B,A到B的映射F是集合{(a,b)|a∈A,b∈B}的一個子集F, 滿足:

(1)若(a,b)∈F,(a,c)∈F, 則b=c.

(2)任意a∈A, 存在b∈B使得(a,b)∈F.

定義: 單射: 如果一個A到B的映射F, 滿足: (a,c)∈F, (b,c)∈F, 則a=b. 則稱F是單射.

滿射: 如果一個A到B的映射F, 滿足: 任意b∈B, 存在a∈A使得(a,b)∈F, 則稱F是滿射.

映射通常還可以用字母f表示:

              f: A→B
                 x→f(x)
表示(x,f(x))∈F, 其中f(x)是B中的元素. 

此時A稱為f的定義域, B稱為f的值域.

習題
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1. 寫出下列集合的並, 交 (1)A={1,2,3}, B={3,4,5} (2)A={x|x<0}, B={x|x≥-1}

2. 寫出{1,2,3,4}的全部子集

3.給出A={1,2},B={1,2,3}的全部映射

4.一下哪些是單射, 哪些是滿射?

(1)f(x)=x^2, A,B=全體實數

(2)f: 全體實數→全體實數

          x→2x

(3)f: (-1,1)→[0,1)

          x→x^2
i的討論
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在看完了上一節的討論之後,如果你在閱讀這一節的時候產生了以下問題,那就說明你理解得非常深了:集合的並,交,差為什麼是集合?幸好有我們曾經 提到過的「替換公理」,它指出一個集合的子集(這裡就使用子集這一個詞不太合適,不過既然有了後面的結論了,這裡就不斟酌新詞了)是集合。所以交集 ,差集都是集合。至於併集,專門有一條公理,叫「併集公理」,保證兩個集合的併集也是集合。對於有限多個併集的情況,用歸納法不難得到。對於無窮多 個集合的情況,那就比較麻煩了,這裡也並不打算討論。「無窮」是個危險的詞,它常常是危險的陷阱,許多看起來很明顯的事實,在無窮的情況卻是不成立 的。比如……請看下節。