微积分学/基础知识

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函数

零、基本逻辑

1. 推理与真假值

推理是种符号组合的游戏，比如说，一般人都会认为“如果这本书不在图书馆，（则）这本书一定是被借走了”，这样的话，若图书馆里没有这本书，那理应有“这本书被借走了”的结论。说的抽象一点，若有“A则B”和“A”，那会得到“B”，这是一条（目前人类公认）的语言推理规则，它通常被称为肯定前件。

可以发现上一段的讨论，是建立在任何一段叙述都有真有假的前提上。为了方便以后的讨论，如果一段叙述为真，我们会说“这段叙述的真值为$\top$”；反之如果一段叙述为假，我们会说“这段叙述的真值为$\bot$”。

2. 逻辑连接词

数学的叙述里总会包含“非/不”、“则”、“且”和“或”这些词汇，这些词汇被统称为逻辑连接词，仔细来说，它们代表

• “非A” 为真，意思是A为假，可记为“$\neg$ A”。
• “A则B”为真，意思是不可能有A为真但B为假的状况，可记为“A $\Rightarrow$ B”。
• “A且B”为真，意思是A与B都为真，可记为“A $\wedge$ B”。
• “A或B”为真，意思是A与B至少一者为真，可记为“A $\vee$ B”。

以下的真值表更清楚地展示以上的语义说明

A $\neg$ A $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\Rightarrow$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\wedge$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

A B A $\vee$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

3.量词与变数

“存在实数大于零”，或是“对任意实数x和y，x=y 或 x<y 或 x>y”是大家所孰悉的数学叙述。但仔细来说，以上两句代表

“存在x，x是实数且 x> 0”

“对所有x和所有y，若x为实数且y为实数 x=y 或 x<y 或 x>y”

也就是说，“所有/任意”和“有/存在”这两种词汇，都须依托于变数的帮助，才能清楚的表达意义，所以这两种词会被统称为量词。

一、集合：

集合的观念与“属于”这个谓词是密不可分的。某个物体称为“集合”意思是有其他东西属于它。

集合的定义：一般地，我们把研究对象称为元素，一些元素组成的总体称为集合。

集合的特点：

确定性：一个元素要么是集合$A$的元素，要么不是集合$A$的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性：集合中的元素不重复。

无序性：集合中的元素不考虑顺序。

二、区间、邻域︰

区间是一类数的集合，在数学中经常使用。

• 有限区间

设$a,b\in R$。

数集$\left\{x|a<x<b\right\}$　称为开区间，记作$\left(a,b\right)$　即$\left(a,b\right)=\left\{x|a<x<b\right\}$。

数集$\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$　称为闭区间，记作$\left[a,b\right]$　即$\left[a,b\right]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$。

同样，把

$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$，

$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$

称为半开区间。

• 邻域

以点$a$为中心的任何区间称为$a$的邻域，记作$U(a)$。邻域一般为有限区间

设$\delta$是任一正数，则区间$\left(a-\delta ,a+\delta \right)$就是点$a$的一个邻域，称此为点$a$的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$，

即$U\left(a,\delta \right)=\left\{a-\delta <x<a+\delta \right\}$，亦可记作$U\left(a,\delta \right)=\left\{x|\left\vert x-a\right\vert <\delta \right\}$

称$a$为此邻域的中心，$\delta$为邻域的半径。

同时，把点$a$的$\delta$邻域去掉中心$a$后，称为点$a$的去心的$\delta$邻域。

• 无限区间：

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x|a<x\right\}$，

$[a,+\infty )=\left\{x|a\leq x\right\}$，

$\left(-\infty ,b\right)=\left\{x|x<b\right\}$，

$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$，

$\left(-\infty ,+\infty \right)$即区间元素$x$属于全体实数$R$。

三、常量与变量：

在一个变化过程中，固定不变的量叫做常量，变化的量叫做变量。

如对于过程：路程＝速度×时间，公式表达为$s=vt$。

在此公式中，如果一辆小车以60km/h匀速直线运动，则速度$v$为常量，因为随着时间$t$的增大，路程$s$也会增大，所以$t$和$s$是变量。

也可以说$s$是$t$的函数。

补充：一次函数解析式为$y=kx+b$，特别的，当$b=0$，函数变为$y=kx$，此时，称它是正比例函数。

四、函数：

对于集合$A$中的任何一个元素，在集合$B$中都有唯一的元素与它对应，这样的关系叫从集合$A$到集合$B$的映射或函数。

大多数情况下，映射规则是有序的。

函数表示形为：$y=f(x)$。

其中$y$是函数值（或在不引起歧义的情况下，简称为函数），$f$是对应法则，$x$是自变量。

注意：有些地方称$y$为因变量，在数学中，这种表述是不严谨的，应引起注意。